基于近似集與粒子群的粗糙熵圖像分割方法*

姚龍洋，張清華,+，胡帥鵬，張　強

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基于近似集與粒子群的粗糙熵圖像分割方法*

姚龍洋1，張清華1,2+，胡帥鵬1，張強2

1.重慶郵電大學計算智能重慶市重點實驗室，重慶400065 2.重慶郵電大學理學院，重慶400065

ISSN 1673-9418 CODEN JKYTA8

Journal of Frontiers of Computer Science and Technology 1673-9418/2016/10(05)-0699-10

http://www.ceaj.org Tel: +86-10-89056056

* The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos. 61472056, 61309014, 61300059 (國家自然科學基金); the Natural Science Foundation of Chongqing under Grant Nos. cstc2012jjA40032, cstc2013jcyjA40063 (重慶市自然科學基金).

Received 2015-06,Accepted 2015-08.

CNKI網絡優先出版: 2015-08-13, http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20150813.1108.002.htm l

YAO Longyang, ZHANG Qinghua, HU Shuaipeng, et al. Rough entropy for image segmentation based on approximation sets and particle swarm optim ization. Journal of Frontiers of Com puter Science and Technology, 2016, 10(5): 699-708.

摘要：基于經典粗糙集理論的圖像分割方法缺少對目標圖像不確定性邊界域的精確劃分，其根據先驗粒度構建的圖像粗糙集信息系統，并沒有客觀準確地反映出不同粒度之間的粗糙性信息。基于粗糙集近似集理論模型，首先采用自適應粒化方法得到圖像的最優粒度，接著基于該粒度劃分構建圖像的目標和背景的上下近似集，再根據近似集思想對目標集合的邊界域進行精確刻畫，同時結合粒子群算法提高求解粗糙集近似集最大粗糙熵的效率，最終得到圖像分割的最優分割閾值，并通過仿真實驗表明該方法具有可行性和有效性。

關鍵詞：圖像分割；粗糙集；近似集；粒計算；粒子群

1 引言

圖像分割是指根據灰度、色彩、形狀、紋理等特征將一幅圖像劃分為互不相交的區域，從而獲得圖像中感興趣的目標區域[1]。作為圖像處理和計算機視覺等領域中的關鍵步驟，圖像分割效果的好壞對圖像分析和圖像理解等基礎環節有著直接的影響。近些年，隨著越來越多的圖像分割方法和技術被提出，這些方法在實際中也已得到了廣泛應用，如工業制造、生物醫學、機器人視覺和地理測繪等領域[1-2]。

現有的圖像分割方法主要包括閾值分割法、邊緣檢測法、區域分割法、聚類分割法和基于特定理論的分割方法等，其中閾值分割法因其實現簡單、高效穩定等特點受到了廣泛關注和研究[1-2]?；陂撝档膱D像分割方法的基本思想是通過計算圖像的特征描述信息建立直方圖，選取一個或多個灰度閾值對圖像進行分割，最終得到目標區域和背景區域。閾值分割法的關鍵就是如何選取分割閾值，文獻[3]提出了最大類間方差法，它是一種無參數并且無監督的基于直方圖的經典分割方法，但當直方圖信噪比較低時去噪效果較差。文獻[4]提出的最大熵閾值法在計算過程中無需先驗知識且適用于非理想雙峰直方圖的圖像分割，但存在多閾值計算量偏大和分割結果不穩定等問題。文獻[5]提出的最小誤差法通過目標與背景的灰度分布建立混合高斯模型，將二值化問題轉化為最小誤差化的高斯分布擬合問題。文獻[6]根據計算閾值所依據的圖像信息分類情況，總結并分析了近40種經典的閾值分割方法。文獻[7]針對目標與背景之間不易區分的過渡區域，通過引入粗糙集理論將不確定區域轉化為粗糙集的上下近似描述，提出了基于粗糙集模型的粗糙熵圖像分割方法。文獻[8]利用變精度粗糙集模型與遺傳算法，在提高粗糙熵的求解效率的同時通過精度調節得到分割閾值。

上述方法雖然針對圖像閾值分割在不同維度、計算復雜度及分割效果上進行了改進和創新，但在利用粗糙集的圖像閾值分割方法過程中，圖像粒度的劃分仍需要人為設定，以致不能根據實際圖像信息在自適應的條件下達到最優粒度?；诮浀浯植诩瘓D像分割方法在構造上下近似集描述的同時仍缺少對邊界域的刻畫，無法找到目標區域的最優近似[9-10]。本文提出了一種基于粗糙集近似集模型的圖像分割方法，通過局部灰度方差得到自適應最優粒度，在求解圖像的近似集粗糙熵過程中結合粒子群算法，最終得到給予粗糙熵的圖像分割閾值。

本文組織結構如下：第2章主要介紹了粗糙集理論和粗糙集的近似集擴展模型的相關概念，以及圖像的粗糙集表示；第3章給出了基于粗糙集近似集的圖像粒度劃分適應方法和圖像的近似集粗糙熵度量，并提出了基于粗糙集近似集與粒子群算法的圖像分割方法；第4章進行了對比實驗，證明了本文算法的可行性和有效性；第5章是結束語。

2 相關概念

2.1粗糙集理論

粗糙集（rough set）理論是波蘭數學家Paw lak于1982年提出的一種處理模糊和不確定知識的數學工具[9-10]。該理論最大的特點是不需要任何先驗知識，直接從數據中提取規則，因此它在模式識別、機器學習和專家系統等多個領域得到廣泛的應用[11-12]。為了更清楚地描述，首先給出粗糙集的相關基本概念。

定義1（信息系統）[9-10]一個信息系統S可以表示為。其中，U是對象全集，也稱為論域；A=C?D是屬性全集，子集C和D分別稱為條件屬性集和結果屬性集；是屬性值的集合，Vr表示屬性r∈A的屬性值范圍，即屬性r的值域；f: U×A→V是一個信息函數，它指定U中每一個對象x的屬性值。

定義2（不可分辨關系）[9-10]對于任一屬性集合R?A，定義一個不可分辨二元關系

定義3（上近似集（upper approximation set）與下近似集（lower approximation set））[9-10]給定信息系統，對于任一對象集合X?U和屬性集合R?A，X關于R的上近似集(X)和下近似集(X)分別定義為：

定義4（粗糙度）[9- 10]在給定的信息系統中，IND(B)是U上的一個不可分辨關系，[x]B表示對象x的等價類，對象子集X?U，X的粗糙度ρB(X) 定義如下：

由以上定義可知，粗糙集以不可分辨關系為基礎，并在此基礎上定義上下近似集來近似刻畫目標集合。

2.2粗糙集近似集模型

粗糙集雖然通過定義上下近似集來描述目標集合的上下邊界，但是如何在當前的劃分空間中利用現有粒度構造目標集合較好的近似集是值得人們關注的問題，許多學者對此進行了深入研究。文獻[13]首先提出了變精度粗糙集模型，極大地促進了粗糙集在應用上的發展。文獻[13]和文獻[14]分別基于依賴關系和粗糙隸屬度函數與粗糙包含函數研究了概率粗糙集模型，均取得了較好的結論。文獻[15]提出了粗糙集近似集模型，很好地解決了目標集合的近似集構建問題。粗糙集近似集利用集合的相似度首先將粗糙集轉換為模糊集，然后根據粗糙集邊界域中元素的隸屬度不同，利用截集的思想來構造近似集，進而基于該近似集來獲取在當前粒度下的近似規則。同時，該模型已經證明當集合隸屬度取0.5時的優越性[15]，由此給出目標概念的近似集。

定義5（隸屬度函數）[9-10]設U是非空對象集，知識空間為U/IND(R)，對象子集X?U，則對于任意的，x屬于集合X的隸屬函數為：

定義6（X的λ近似集）[15]設X是論域的一個集合（目標概念），令：

稱Rλ(X)為X的λ近似集。

顯然，R1(X)=-R(X)，R0(X)=(X)，即上近似集和下近似集是Rλ(X)的特例，粗糙集近似集模型是粗糙集模型的推廣。文中，λ一般取0.5，如無特殊說明，粗糙集的近似集均指R0.5(X)。R0.5(X)對集合的交、并、補運算有如下性質。

性質1[15]設X、Y是兩個集合（概念），則

定義7（集合的近似度（或相似度））[15]設A、B是有限論域U上的兩個子集，即A?U，B?U，定義映射S: U×U→[0,1]，即(A,B)→S(A,B)，如下：

其中，||·表示有限子集的元素個數；S(A,B)是集合A、B的近似度。

定理1[15]設論域U是一個有限論域，X?U，R 是U上的等價關系，則S(X,R0.5(X))≥S(X,-R(X))。

定理2[15]設論域U是一個有限論域，X?U，R 是U上的等價關系，若

則S(X,R0.5(X))≥S(X,(X))。

定理1和定理2表明粗糙集近似集對于目標集合的近似度均高于上近似集和下近似集，這也是本文基于該模型研究圖像閾值分割方法的意義所在。

2.3圖像的粗糙集表示

圖像信息本身所具有的相關性和不確定性等特點，造成了在圖像處理過程中各個層次可能出現不完整和不精確的問題，因此通過將粗糙集理論應用到圖像處理中，利用粗糙集中的不可分辨關系、近似集合概念和知識約簡等思想，具有比傳統模型方法和算法更完備的處理結果[16-19]。圖像的粗糙集表示的基本思路是，將圖像所表達的信息轉化為由二維圖像灰度值對象所組成的一個信息表達系統，再根據粗糙集的不可分辨關系構建該信息系統的目標與背景近似集合[7,20]。

令集合R表示整個圖像區域，那么可以將圖像分割看成是將R劃分成n個子區域R1,R2,…,Rn的過程，如下定義，對于?i,j且i≠j：

（2）Ri是一個連通的區域；

（3）Ri?Rj=?，即任意兩個子區域不存在公共元素；

（4）區域Ri滿足一定的均勻性條件。

文獻[7]定義了圖像的粗糙集表示方法，在圖像分割過程中，一幅圖像的所有像素點構成論域U，將該圖像劃分成k個大小為m×n且互不相交的子域，其中每個子域被看作是圖像粒化后的粒，記作Gi(1,2,…,k)。設有大小為M×N的圖像U，灰度級為L，U上的映射g:U→{ 0,1,…,L-1}為任意像素點P處的灰度值，記作g(P) ，其中灰度值在{0,1,…,T}范圍的像素組成圖像的背景區域BT，而灰度值在{T+1,T+2,…,L-1}范圍的像素組成圖像的目標區域OT。根據粗糙集理論可得到目標和背景區域的上下近似集T、T和T、T。其中：

3 粗糙集近似集的圖像分割方法

圖像粗糙集描述的目標和背景邊界域是圖像分割的關鍵所在，與此同時，圖像的粒度劃分又影響著目標集合對邊界域的近似刻畫，因此圖像粒度大小的設定以及當前粒度劃分下對目標集合近似刻畫將是基于粗糙集近似集理論的圖像分割方法研究的重點[18-21]。

3.1圖像的粒度劃分

粗糙集理論模型通過定義上近似集和下近似集來逼近所描述的目標集合，即用精確的區域去近似不精確的區域，這對于不精確區域的刻畫是有局限性的。被刻畫的目標區域的邊界域的寬窄和近似精度隨論域劃分的粒度的變化而變化，如果圖像劃分粒度較粗，則邊界域較寬，近似精度也相對較低，反之亦然[15-16]。如圖1所示，黑色區域為目標圖像，淺灰色為粗糙集下近似區域，深灰色與陰影為邊界域，在粗糙集近似集模型中，通過對邊界域進行刻畫構造近似目標區域，同時，粗糙集近似集構造出的目標區域又隨粒度變化，不斷近似逼近目標圖像。

Fig.1　Evolution under different granularity of R0.5(X)圖1　R0.5(X)隨粒度細化的變化圖

由圖1分析可得，隨著圖像粒度的細化，得到的目標區域圖像越精確。同時為了保證圖像粒化后集合的粗糙性和關聯性，粒度的劃分不能過小，因此如何找到圖像的最優粒度劃分就成為圖像粗糙集近似集表示的關鍵。

3.2圖像的粗糙熵度量

由粗糙集近似集理論，當R0.5(X)作為目標集合的近似集要優于上下近似集，給定一幅圖像記作F，其中X={P∈Gi|F(P)>T}，則目標和背景區域的近似集合區域表示如下：

由近似區域定義可看出，目標區域的近似集是圖像F灰度值大于T的像素集合且不小于0.5隸屬度的粒度集合，背景區域表示F中滿足灰度值不大于T的像素集合且不小于0.5隸屬度的粒度集合。當μ=1時，目標和背景集合區域回歸至經典粗糙集圖像表示。

由粗糙集粗糙度公式可得到目標與背景的近似粗糙度：

給定圖像F，F的分割閾值為T，得到F的粗糙集近似集粗糙熵為:

文獻[7]指出，當給定圖像的粗糙熵ET取最大值時，可以得到圖像分割的最佳閾值T*，同時圖像的粗糙熵ET隨著目標和背景區域的粗糙度ρOT、ρBT減小而增大。

3.3結合近似集粗糙熵與粒子群算法的圖像分割

對于計算圖像粗糙熵的求解最優解問題，文獻[7]等采用窮舉法求得，但該算法的求解效率明顯偏低。文獻[8]在求解過程中采用遺傳算法來提高求解效率，并獲得了明顯的效果。

本文在基于粗糙集近似集圖像分割過程中，通過引入粒子群算法來進一步改善粗糙熵最優解。相較于遺傳算法的迭代規則，粒子群算法憑借更為簡單的適應度評價標準，在尋找最優解的實際問題中具有更快的收斂性和較好的求解精度[25-26]。

給定大小為M×N的圖像F，則基于粗糙集近似集和粒子群算法的圖像分割算法描述如下：

輸入：大小為M×N的圖像F。

輸出：圖像F的分割圖像和最優分割閾值T。

步驟1根據圖像粒度適應準則，對圖像F進行最優粒度劃分，得到粒度窗口為m×n。

步驟2建立圖像論域U上的等價關系Rmn，得到圖像的劃分粒度Gi(1,2,…,k)。

步驟3設定粒子數量為N，活動范圍為[0～255]，將粗糙集近似集的粗糙熵作為適應度函數，隨機初始化粒子群。

步驟4由粒子位置T∈{0,1,…,L-1}，構建圖像的目標與背景上下近似集(T) 、(T)和(T) 、(T)，以及目標集合的近似集O0.5(T)、B0.5(T)。

步驟5計算每個粒子的適應值，判斷迭代次數

1是否達到最大值，若達到，則將最大適應度值的粒子作為分割閾值T，執行步驟7。否則，轉為步驟6。

步驟6更新粒子的位置和速度，返回步驟4。

步驟7由最佳分割閾值T輸出圖像分割結果。

通過以上算法描述，得到基于粗糙集近似集的圖像分割閾值，在此閾值基礎上對圖像進行閾值分割計算，得到目標區域圖像。

4 實驗分析

為了驗證本文算法的可行性和有效性，實驗選用了Berkeley Segmentation Dataset中的測試數據，實驗環境為I3-2350M CPU，2 GB RAM，W indows7操作系統，開發環境為Matlab 7.0。記圖2的4幅測試圖像依次為IMG1～IMG4。實驗首先采用同樣是基于粗糙集粗糙熵的Pal算法與本文基于粗糙集近似集的粗糙熵粒子群圖像分割算法進行對比，然后使用非粗糙集模型的經典圖像閾值分割算法與本文算法比較分割效果。

Fig.2 Original images圖2 原始圖像

4.1近似集的粗糙熵粒子群算法與傳統粗糙集圖像分割算法實驗對比

Pal算法是基于傳統粗糙集粗糙熵圖像分割的經典算法，主要思想是構建圖像粗糙集信息系統，通過遍歷最大粗糙熵求解最佳閾值[7-8]。本文算法分別與Pal算法在分割結果、求解效率和分割閾值上進行比較。實驗設置本文算法在粒子群求解過程中的初始化隨機粒子數量為10。

由圖3（a）與圖3（b）的效果對比可以看出，本文算法與Pal方法總體上效果近似，其中IMG2和IMG3的目標圖像呈現出較好的效果。因此基于粗糙集近似集模型的分割方法，對目標圖像的近似性和連貫性要優于Pal算法。由表1和表2可明顯得出，相較于Pal算法的窮盡方法，本文算法通過引入粒子群算法，在求解最佳粗糙熵時間開銷上要優于Pal算法。圖4為粒子群算法求解IMG1粗糙熵的迭代過程。4.2近似集的粗糙熵粒子群算法與其他算法對比

Fig.3 Image segmentation result between Pal and thispaper algorithms圖3 Pal算法與本文算法圖像分割效果對比

Table 1 Comparison of computing time of best rough entropy between Pal and this paper algorithms表1 Pal算法與本文算法求解最佳粗糙熵時間對比

Table 2 Comparison of solving threshold between Paland this paper algorithms表2 Pal算法與本文算法求解圖像分割閾值對比

Fig.4 Iterative process of computing the maximum rough entropy of IMG1 based on PSO圖4 求解IMG 1粗糙熵過程粒子群迭代過程

分別采用了最大類間方差Otsu算法、直方圖最大熵Kapur算法與本文算法對選取的2幅圖像進行對比實驗。Ostu算法基于最小二乘法原理，通過構建圖像雙峰的直方圖對目標圖像進行分割。Kapur算法基于經典Shannon熵，通過計算一維直方圖最大熵求解圖像分割閾值。

由圖5的分割效果可得，本文算法與Otsu算法相比較對目標圖像的刻畫更為明顯，要優于Otsu的分割效果。本文算法與Kapur算法的結果相比較，分割效果基本近似。

基于粗糙集近似集的圖像分割方法從原理上保證分割圖像輪廓較好，需要先將圖像轉化為粗糙集信息系統，才能求解粗糙熵，因此與非粗糙集模型圖像分割算法相比，基于粗糙集模型的圖像分割算法在時間復雜度上可能高于Otsu算法和Kapur算法，但它提供了新的研究嘗試，在后繼工作中可以引入并行計算模式來提高計算效率，保證圖像分割的質量和效率。

Fig.5 Comparison of image segmentation effectiveness based on Otsu, Kapur and this paper algorithms圖5 Otsu算法、Kapur算法與本文算法圖像分割效果對比

4.3圖像分割結果的定量評價對一幅圖像分割結果的好壞，通常情況下是以人的主觀視覺判斷作為評價標準。然而由于人類個體間視覺差異的存在，圖像分割結果的評價很難從客觀上得到統一。因此，為了正確評測分割算法的效果，改善分割算法的質量，圖像分割需要從實際目標出發，引入客觀、統一的圖像分割評價方法和標準。

本文針對以上對比實驗得到的不同分割結果，在算法時間復雜度和主觀表現效果的基礎上，參考文獻[27]的圖像分割評價方法，基于圖像分割的模糊度量，進一步引入圖像的模糊熵作為分割結果的定量評價標準。模糊集的一維模糊熵為：

由一維模糊熵推廣到二維圖像模糊熵：

Sn[X(xij)]=-X(xij)ln X(xij)-[1-X(xij)]ln[1-X(xij)]

根據不確定性問題的模糊熵性質可知，對于圖像的目標和背景進行分割結果模糊度量，當分割效果較好時，分割結果應測得較小的模糊熵。以IMG1～IMG4的圖像分割結果為測試樣本，分別計算本文算法與傳統粗糙集圖像分割算法的模糊熵，并進行對比。

由表3圖像分割評價結果可得出，基于近似集與粒子群圖像分割方法，圖IMG1和IMG4的模糊熵基本接近，而圖IMG2、IMG3的模糊熵明顯低于傳統粗糙集的圖像分割方法，這客觀反映了本文分割方法的有效性，也顯出了基于模糊熵的定量評價與主觀結果判斷基本一致。綜合可得，基于近似集與粒子群算法的粗糙熵圖像分割方法，在圖像分割效果和執行效率方面均優于傳統粗糙集圖像分割方法。

Table 3 Comparison of image segmentation effectivenessbased on fuzzy entropy evaluation between Pal andthis paper algorithms表3 Pal算法與本文算法圖像分割模糊熵定量評價對比

5 結束語

作為圖像處理和計算機視覺領域中的重要基礎內容之一，圖像分割方法一直以來都被廣泛地討論和研究，其中對于圖像邊界域的不確定性處理更是研究中的重點和難點問題。作為粒計算的重要模型，粗糙集理論可以通過確定性方法實現對不確定性問題進行描述和處理，并已經成功地應用于各個領域，包括人工智能、金融決策以及工業控制等。與此同時，粗糙集理論也被引入圖像處理領域，尤其是在圖像分割方法的研究中，為處理圖像中的不確定性問題提供了可靠的理論基礎和有效的處理手段。

然而，在實際的理論分析中，經典粗糙集理論缺少對目標概念的精確或近似的刻畫，僅依靠傳統的上下近似集并不能最大限度地對目標集合進行有效描述。因此，憑借粗糙集近似集模型對邊界區域進行近似刻畫具有較好的處理能力。本文基于粗糙集近似集的理論模型，提出了基于粗糙集近似集與粒子群算法的粗糙熵圖像分割方法。首先將圖像進行自適應最優粒化，在該粒度劃分下，構造圖像的目標和背景的上下近似集及其近似集圖像信息系統，結合粒子群算法提高了粗糙熵計算效率，通過計算最大化粗糙熵得到圖像分割的最優閾值，并通過對比實驗驗證了本文方法與經典粗糙集圖像分割方法相比具有較好的效果和明顯的時間優勢，與傳統經典算法的對比實驗顯示出了理想的效果。本文算法的提出進一步促進了粗糙集近似集模型的應用，對基于圖像閾值的圖像分割方法進行了擴充和發展。在未來的工作中將繼續研究基于粗糙集模型的多閾值分割方法以及通過并行計算進行圖像分割。

References:

[1] Xu Xinzheng, Ding Shifei, Shi Zhongzhi, et al. New theories and methods of image segmentation[J]. Acta Electronica Sinica, 2010, 38(2A): 76-82.

[2] Li Weibin, Gao Er, Song Songhe. A global m inim ization method for image segmentation[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2013, 35(4): 791-796.

[3] Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms[J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, 1979, 9(1): 62-66.

[4] Kapur J N, Sahoo P K, Wong A K C. A new method for gray-level picture thresholding using the entropy of the histogram[J]. Computer Vision, Graphics, and Image Processing, 1985, 29(3): 273-285.

[5] Kittler J, Illingworth J. M inimum error thresholding[J]. Pattern Recognition, 1986, 19(1): 41-47.

[6] Sezgin M, Sankur B. Survey over image thresholding techniques and quantitative performance evaluation[J]. Journal of Electronic Imaging, 2004, 13(1): 146-165.

[7] Pal S K, Shankar B U, Pabitra M. Granular computing, rough entropy and object extraction[J]. Pattern Recognition Letters, 2005, 26(16): 2509-2517.

[8] Deng Tingquan, Sheng Chundong. Image threshold segmentation based on entropy of variable precision rough sets and genetic algorithm[J]. Control and Decision, 2011, 26 (7): 1079-1082.

[9] Paw lak Z. Rough sets[J]. International Journal of Computer and Information Sciences, 1982, 11(5): 341-356.

[10] M iao Duoqian, Wang Jue. An information representation of the concepts and operations in rough set theory[J]. Journal of Software, 1999, 10(2): 113-116.

[11] Phophalia A, M itra S K, Rajwade A. Object boundary detection using rough set theory[C]//Proceedings of the 2013 4th National Conference on Computer Vision, Pattern Recognition, Image Processing and Graphics, Jodhpur, India, Dec 18-21, 2013. Piscataway, USA: IEEE, 2013: 1-4.

[12] Kuang Yubin, Byr?d M, Astrom K. Supervised feature quantization w ith entropy optim ization[C]//Proceedings of the 2011 IEEE International Conference on Computer Vision Workshops, Barcelona, Spain, Nov 6-13, 2011. Piscataway, USA: IEEE, 2011:1386-1393.

[13] Ziarko W. Variable precision rough set model[J]. Journal of Computer and System Sciences, 1993, 46(1): 39-59.

[14] Yao Yiyu. Probabilistic rough set approximations[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008, 49(2): 255-271.

[15] Zhang Qinghua, Wang Guoyin, Xiao Yu. Approximation sets of rough sets[J]. Journal of Software, 2012, 23(7): 1745-1759.

[16] Chen Hongmei, Li Tianrui, Ruan Da. A rough-set-based incremental approach for updating approximations under dynam ic maintenance environments[J]. IEEE Transactions on Know ledge and Data Engineering, 2013, 25(2): 274-284.

[17] Wu Weizhi, Leung Yee, Shao M inwen. Generalized fuzzy rough approximation operators determined by fuzzy implicators[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2013, 54(9): 1388-1409.

[18] Liang Jiye, Qian Yuhua. Axiomatic approach of know ledge granulation in information system[C]//LNCS 4304: Proceedings of the 19th Australian Joint Conference on A rtificial Intelligence, Hobart, Australia, Dec 4-8, 2006. Berlin, Heidelberg: Springer, 2006: 1074-1078.

[19] Feng Tao, M i Jusheng, Zhang Shaopu. Belief functions on general intuitionistic fuzzy information systems[J]. Information Sciences, 2014, 271: 143-158.

[20] Hassanien A E, Abraham A, Peters J F, et al. Rough sets and near sets in medical imaging: a review[J]. IEEE Transactions on Information Technology in Biomedicine, 2009, 13(6): 995-968.

[21] Wu Tao. Adaptive rough entropy method for image thresholding[J]. Journal of Image and Graphics, 2014, 19(1): 1-10.

[22] Long Jianwu, Shen Xuanjing, Chen Haipeng. Adaptive minimum error thresholding algorithm[J]. Acta Automatica Sinica, 2012, 38(7): 1134-1144.

[23] Krinidis S, Chatzis V. A robust fuzzy local information C-means clustering algorithm[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2010, 19(5): 1328-1337.

[24] Zhao Xuemei, Li Yu, Zhao Quanhua. Image segmentation by fuzzy clustering algorithm combining hidden Markov random field and Gaussian regression model[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(11): 2730-2736.

[25] Nosrati M S, Hamarneh G. Local optim ization based segmentation of spatially-recurring, multi-region objects with part configuration constraints[J]. IEEE Transactions on Medical Imaging, 2014, 33(9): 1845-1859.

[26] Qi Chengm ing. Maximum entropy for image segmentation based on an adaptive particle swarm optim ization[J]. Applied Mathematics & Information Sciences, 2014, 8 (6): 3129-3135.

[27] Hou Gexian, Bi Douyan, Wu Chengke. Researches on evaluation methods for image segmentation[J]. Journal of Image and Graphics, 2000, 5(1): 39-43.

附中文參考文獻：

[1]許新征,丁世飛,史忠植,等.圖像分割的新理論和新方法[J].電子學報, 2010, 38(2A): 76-82.

[2]李偉斌,高二,宋松和.一種全局最小化的圖像分割方法[J].電子與信息學報, 2013, 35(4): 791-796.

[8]鄧廷權,盛春冬.結合變精度粗糙熵和遺傳算法的圖像閾值分割方法[J].控制與決策, 2011, 26(7): 1079-1082.

[10]苗奪謙,王玨.粗糙集理論中概念與運算的信息表示[J].軟件學報,1999, 10(2): 113-116.

[15]張清華,王國胤,肖雨.粗糙集的近似集[J].軟件學報, 2012, 23(7): 1745-1759.

[21]吳濤.圖像閾值化的自適應粗糙熵方法[J].中國圖象圖形學報, 2014, 19(1): 1-10.

[22]龍建武,申鉉京,陳海鵬.自適應最小誤差閾值分割算法[J].自動化學報, 2012, 38(7): 1134-1144.

[24]趙雪梅,李玉,趙泉華.結合高斯回歸模型和隱馬爾可夫隨機場的模糊聚類圖像分割[J].電子與信息學報, 2014, 36(11): 2730-2736.

[27]侯格賢,畢篤彥,吳成柯.圖像分割質量評價方法研究[J].中國圖象圖形學報, 2000, 5(1): 39-43.

YAO Longyang was born in 1989. He is an M.S. candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

姚龍洋（1989-），男，河南洛陽人，重慶郵電大學碩士研究生，主要研究領域為粗糙集，粒計算等。

ZHANG Qinghua was born in 1974. He received the Ph.D. degree from Southwest Jiaotong University in 2010. Now he is a professor at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

張清華（1974—），男，重慶人，2010年于西南交通大學獲得博士學位，現為重慶郵電大學理學院教授，主要研究領域為粗糙集，粒計算等。

HU Shuaipeng was born in 1989. He is an M.S. candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

胡帥鵬（1989—），男，河南平頂山人，重慶郵電大學碩士研究生，主要研究領域為粗糙集，粒計算等。

ZHANG Qiang was born in 1992. He is an M.S. candidate at Chongqing University of Posts and Telecommunications. His research interests include rough set and granular computing, etc.

張強（1992—），男，甘肅蘭州人，重慶郵電大學碩士研究生，主要研究領域為粗糙集，粒計算等。

Rough Entropy for Image Segmentation Based on Approximation Sets and Particle Swarm Optim ization?

YAO Longyang1, ZHANG Qinghua1,2+, HU Shuaipeng1, ZHANG Qiang2
1. Chongqing Key Laboratory of Computational Intelligence, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China
2. School of Science, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065, China
+ Corresponding author: E-mail: zhangqh@cqupt.deu.cn

Key words:image segmentation; rough set; approximation set; granular computing; particle swarm

Abstract:Image segmentation method based on the classical rough set theory is lacking of accurate classification on the uncertainty of target image edge boundaries, and classical rough set information system which is built for an image w ith a priori granularity does not reflect the roughness information between different particle size objectives accurately. Based on the theory of approximation set of rough set model, this paper adopts an adaptive optimal graining method on the rough set representation of the image, and then builds the upper and lower approximation sets of the target and background images. According to the approximate set ideas, this paper accurately describes the edge boundaries of the target set, and improves the efficiency of the rough set approximation set maximum rough entropy combined w ith particle swarm algorithm at the same time, finally obtains the optimal segmentation threshold. The experimental results show that this method is feasible and effective.

doi:10.3778/j.issn.1673-9418.1506016 E-mail: fcst@vip.163.com

文獻標志碼：A

中圖分類號：TP391