用“分節法”研究能被11、7整除的數的特征

黃紅+文水軍

摘 要：掌握了2，3，5的倍數的特征，對于學習約分、通分、分數的四則混合運算就有了一個強有力的工具。7或11的倍數是否有特征呢？如有，又是怎樣的特征呢？教材上沒有滲透，資料上也沒有提及，但教師必須弄明白這方面的真相。

關鍵詞：分節法；規律；特征

2012年秋，當我上完西師版教材五年級數學上冊第七章“倍數與因數”第二節內容“2，3，5的倍數特征”后，我掩卷沉思：這一章節的內容主要是在整數中研究的，雖有許多實際的功用，但主要的目的是為今后分數方面的計算做準備。掌握了2，3，5的倍數的特征，對于學習約分、通分、分數的四則混合運算就有了一個強有力的工具。但通過我多年的教學經驗得知，學生在進行約分時最困難的卻是難以快速判斷分子、分母是否含有因子7或11，甚至于是13，因此影響約分的速度和效果。要突破這方面的難點，須得弄清7或11的倍數的特征。

7或11的倍數是否有特征呢？如有，又是怎樣的特征呢？教材上沒有滲透，資料上也沒有提及。但我怎能放棄呢？必須弄明白這方面的真相。

首先，我以11為突破口，于是，在我案頭上出現了一大堆的數字：88，99，121，132，187，209，319，627，770，880，858，這些都是11的倍數。

看著這些數字，我內心只有一個想法：規律在哪里？它們的內在存在什么聯系？……一連串的問題在我心中縈繞。

個位上的數字有奇、有偶，從個位上尋求規律行不通。

把各位上的數字相加，結果與11也毫無關系。

……

看著88，99，770，880這幾個比較特殊的數與121，132，187，209，319，627的結構不同，難道是兩位數與三位數的特征不同？難道要進行分別研究？有了這個想法，我立馬把11的倍數進行了分類整理。

11的倍數是兩位數的：11，22，33，44，55，66，77，88，99

很有趣：個位上的數字與十位上的數字相同。

11的倍數是三位數的：121，132，143，154，165，176，187，198，209，220，231…308，319…

我依次列舉了一串，通過仔細觀察，這些數似乎可以劃分為兩種情形。

一類是：121，132，143，154，165，176，187，198，220，231，242，253…

一類是：209，308，319…

前一類滿足一個共同的特征：

百位上的數字+個位上的數字-十位上的數字=0

后一類滿足：

百位上的數字+個位上的數字-十位上的數字=11

我驚了：這0和11不就是11的倍數嗎？在三位數中難道滿足百位上的數字+個位上的數字-十位上的數字=0或11的數就是11的倍數嗎？我急不可待地驗證了許多11的倍數，結果都是這樣。同時也弄明白了滿足什么條件的兩位數的11倍結果為0，滿足什么條件的兩位數的11倍結果為11。

11的倍數是兩位數的有特點，是三位數的也有特點，且特點不同，難道四位數中是11的倍數又具有另類特征嗎？跟前面的研究方法一樣，我又列舉了一大串11的倍數：1089，1100，1111，1122，1144，1188，1210，1221，1342，1353。

1100，1111，1122，1144，1188各位數字的組合比較特殊，很容易理解。但1089，1210，1221，1342，1353這些比較一般的數怎樣才能尋出點眉目來呢？

把各位上的數字相加，結果與11沒有關聯，此路不通。我深信各位上的數字經過一定方式的處理應該與11有關聯。通過苦苦思索，我發現把1221分成兩節，12為一節，21為一節，把這兩個數相加結果為33，恰是11的倍數。興奮之余，我試著把其他的幾個數按同樣的方式分為兩節，把兩節數字一加，結果都是11的倍數。我相信這絕不是偶然，接著我進行了大量的驗證，經過這樣的分節處理，兩節之和就是11，22，33，44…99這9個數字中的其中一個。這難道不是與判斷3的倍數的特征有異曲同工之妙嗎？

這個分節法適用于三位數乃至更多位數嗎？試試看。

11的倍數：187 10857 39248

分節：1/87 1/08/57 3/92/48

相加：1+87=88 1+08+57=66 3+92+48=143

再分節相加：1/43 1+43=44

判斷：因為88，66，44是11的倍數，故原數就是11的倍數。綜上所有研究的結果，可以表述為：11的倍數可以用分節法來進行判斷，具體的操作過程是，把這個數從右向左每兩個數字分為一節，最后一節可以是一個數字，然后把各節上的數相加，如結果是11的倍數，那么這個數就是11的倍數。

當然，研究問題要全面，我舉了大量不是11的倍數的例子，通過上面的操作其結果都不是11的倍數，從而初步認定分節法的可靠性。

有了研究11的倍數的經驗，我接著對7的倍數進行了摸索，最終找到了7的倍數的判斷方法。只是在分節法的基礎上又有不同的處理方式，具體操作演示如下：（下面的數都是7的倍數）

119 175 2520 5663

分節：1/19 1/75 25/20 56/63

過程：1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63

=21 =77 =70 =175

再分節相加：1/75 1×2+75=77

需要說明的是，只能分成兩節，右邊兩個數字為一節，其余的為一節，要用前一節的數乘2再加后一節的數，如果結果過大，繼續分節進行，直到很好判斷為止。

后來，我對13，17，23等數也進行了研究，它們的倍數都可以用分節法來進行判斷，只是過程處理有一些差別而已。

編輯 趙飛飛