一類三維分段線性系統的異宿軌的存在性

朱道宇

一類三維分段線性系統的異宿軌的存在性

朱道宇

(貴州民族大學理學院，貴州貴陽550025)

研究一類具有3個參數的連續分段線性微分動力系統的異宿軌的存在性.利用光滑子系統的流建立切換流形上的Poincare映射，并結合Taylor展開等方法，證明系統在一定參數條件下存在簡單二維異宿軌.

異宿軌;Poincare映射;平衡點;流形

1 預備知識

近年來，非光滑微分動力系統中的分段線性系統，由于其形式的簡單性和所呈現的動力學行為的復雜性，它的分支和混沌動力學研究一直受到學者的關注［1－6］.同宿軌和異宿軌是研究高維微分動力系統的混沌動力學的重要工具之一.文獻［7］給出了著名的Shilnikov定理，該定理揭示了三維光滑微分動力系統的同宿軌和異宿軌與混沌現象的緊密聯系.文獻［8］給出了適用于分段光滑微分動力系統的Shilnikov定理，一個三維的連續分段光滑微分動力系統的平衡點當其特征值滿足一定條件時，若系統存在同宿軌或異宿環，則在此同宿軌或異宿環的任一鄰域內存在無窮多可數個不穩定周期軌，因而存在混沌.一般地，無論對光滑動力系統還是非光滑動力系統來說，同宿軌或異宿軌的存在性的理論證明都是一項比較困難的工作，到目前為止，嚴格證明非光滑動力系統存在同宿軌或異宿軌的研究成果相對較少［9－17］.本文考慮一類具有3個參數的三維連續分段線性系統，研究其簡單二維異宿軌的存在性.

文獻［2］提出一類如下形式的三維連續分段線性系統

其中，β＞0是耗散項，fa，μ(x)是一個二參數的連續分段線性函數

為方便討論，將上述系統寫成矩陣形式

其中向量X=(x，y，z)T，b=(0，0，1)T，系數矩陣

其中

在變換(2)式之下，系數矩陣A－和A+的特征值分別為λ，－δλ±iω和－L，ρL±iΩ，其中i是虛數單位，ω和Ω是正實數，并且

下面選取λ、δ、L為系統(1)的基本參數，并設參數的取值范圍是λ，δ，L＞0.由系數矩陣的特征值的形式知平衡點e－和e+都是系統(1)的鞍－焦點.

由矩陣A－的對應于特征值λ的特征向量(1，λ，λ2)T，可算得平衡點e－的一維不穩定流形Wu(e－)在{x≤0}內的部分是半直線I－與切換流形{x=0}相交于點T.由矩陣A－的對應于特征值－δλ+iω的特征向量的實部(1，－δλ，δ2λ2－ω2)T和虛部(0，ω，－2δλω)T，可得平衡點e－的二維穩定流形Ws(e－)在{x≤0}內是半平面

的一部分.P－與切換流形{x=0}相交于直線

要注意的是直線H－只有一部分屬于Ws(e－).

由矩陣A+的對應于特征值－L的特征向量(1，－L，L2)T，可得平衡點e+的一維穩定流形Ws(e+)在{x≥0}內的部分是半直線I+與切換流形{x=0}相交于點)T.由矩陣A+的對應于特征值ρL+iΩ的特征向量的實部(1，ρL，ρ2L2－Ω2)T和虛部(0，Ω，2ρLΩ)T，可得平衡點e+的二維不穩定流形Wu(e+)在{x≥0}內是半平面

的一部分.P+與切換流形{x=0}相交于直線

同樣，直線H+也只有一部分屬于Wu(e+).

2 系統在{x≥0}和{x≤0}內的流

對R3中任意一點p=(xp，yp，zp)T，記過點p的軌線為γp.如果點p在{x≥0}內，令(t)= ((t)(t)，(t))T是系統(1)的滿足初值條件(0)=p的解.當(t)≥0時有

其中

如果xp=0，yp＞0，則由系統(1)的第一個表達式得e＞0，其中e1=(1，0，0)T，表示系統(1)在點p處的向量場.此時軌線γp從區域{x＜0}穿過切換流形{x=0}進入區域{x＞0}.由于系統(1)在{x≥0}內是線性的并且鞍－焦點e+的穩定流形和不穩定流形都與{x=0}相交，如果點p不在e+的穩定流形上，則存在回復時間＞0使得()=0，并且當t∈(0，)時，(t)＞0.簡而言之，如果點p滿足xp=0且yp＞0，則定義Poincare映射Π+為

其中

如果xp=0，yp＜0，則e＜0，此時過點p的軌線γp從區域{x＞0}穿過切換流形{x=0}進入區域{x＜0}.由于系統(1)在{x≤0}內是線性的并且鞍－焦點e－的穩定流形和不穩定流形都與{x=0}相交，如果點p不在e－的穩定流形上，則存在回復時間＞0使得()=0，并且當t∈(0，)時，(t)＜0.簡言之，如果點p滿足xp=0，yp＜0，則定義Poincaré映射Π－為

如果點p在z軸上，即xp=yp=0，則e=0，這樣的點叫做系統(1)的流與切換流形{x=0}的一個接觸點.對于這樣的點，設Xp(t)為系統(1)的滿足初值條件Xp(0)=p的解.將Xp(t)在t=0處Taylor展開到四階，并把常數項移到等號左端，得到其第一個分量為

其中ξ的取值介于0和t之間.因此，當zp＜0時軌線γp局部包含在{x≤0}內，當zp＞0時軌線γp局部包含在{x≥0}內，當zp=0時軌線γp從{x＜0}穿過切換流形{x=0}進入{x＞0}.

3 引理和主要結果

系統(1)的簡單二維異宿軌是指一條連接平衡點e+和平衡點e－的軌線ρ±?Wu(e+)∩Ws(e－)且ρ±與切換流形{x=0}有且只有一個交點.事實上，點就是直線H－與H+的交點，即

考慮半平面P－和P+分別與z軸的交點q－=(0，0，－1/λ)T和q+=(0，0，1/L)T，顯然q－和q+都是系統(1)的流與切換流形的接觸點.令S－?H－是以q－和(q－)為端點的線段，其中是Poincaré映射Π－的逆映射，則與直線H－相交的軌線沿著平衡點e－的穩定流形Ws(e－)進入e－的充分必要條件是交點q－在線段S－上.令S+?H+是以q+和Π+(q+)為端點的線段，則與直線H+相交的軌線沿著平衡點e+的不穩定流形Wu(e+)按負向時間進入e+的充分必要條件是交點q－在線段S+上.

證明因為點q+=(0，0，1/L)T在z軸上且z坐標分量大于0，由第2節的分析知軌線γq+局部包含在{x≥0}內.由(10)式得系統(1)的滿足初值條件X(0)=q+的解為

q+

此方程在(π，2π)內有唯一的零點θ0.因此，軌線從點q+到Π+(q+)的回復時間滿足Ωt∈(π，2π).將(3)式中Ω的表達式關于變量L作Taylor展開得

其中

求解關于未知數t的方程

將此近似值帶入(13)式的第一式，可算得

容易驗證當0＜ρ＜1.2時，因式πρ3+12πρ2+32πρ－ 30ρ－180＜0，即當且充分小時，10L2)與xq+()異號，于是由零點存在定理有

由此得

下面計算Π+(q+)的y坐標分量.由(13)式的第二式得

移項得

利用與引理1類似的推導方法，可得:

定理1設λ＞0且充分小，0＜δ＜1.3，則當且充分小時，系統(1)有一條二維異宿軌，該異宿軌與切換流形{x=0}有且只有一個交點.

證明由本節一開始的討論知，只需證明在定理的條件下，直線H－與H+的交點q－∈S+且q－∈S－.由于，而點q+的y坐標分量等于0，因此如果Π+(q+)的y坐標分量小于，則∈S+.由條件(14)式知L＞，所以當λ＞0且充分小時，由引理1得Π+(q+)的y坐標分量為+O(L).又由條件(14)式知+2λδ－λ，所以

由此知點Π+(q+)的y坐標分量滿足因而有q－∈S+.同理可證，當λ＞0且充分小，0＜δ＜1.且充分小時，∈S－.定理證完.

此定理說明系統(1)當3個參數滿足一定條件時存在一條從平衡點e+到平衡點e－的異宿軌，該異宿軌與切換流形{x=0}有且只有一個交點.根據Shilnikov定理，如果此時還存在一條從平衡點e－到平衡點e+的異宿軌并且參數δ和ρ的取值都在(0，1)區間內，則系統(1)存在混沌.從e－到e+的異宿軌與切換流形{x=0}至少有3個交點，這樣的異宿軌的存在性證明對于多參數的分段線性系統來說是困難的，作者將在以后作進一步探討.

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Existence of Heteroclinic Orbits for Three-dimensional Piecewise Linear Systems

ZHU Daoyu
(College of Science，Guizhou Minzu University，Guiyang 550025，Guizhou)

The existence of heteroclinic orbits for a three-parametric family of continuous piecewise linear systems is studied.Using Poincare maps established by the flow of smooth subsystems on switch manifold，and combining with Taylor series expansion method，the existence of a simple 2-dimensional heteroclinic orbit under certain parametric conditions is proved.

Heteroclinic orbit;Poincare map;equilibrium;manifold

O193

A

1001－8395(2016)03－0377－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.014

(編輯鄭月蓉)

2015－04－03

貴州省科技廳聯合基金(黔科合LH字［2014］7377)

朱道宇(1982—)，女，講師，主要從事微分方程與動力系統的研究，E－mail:daoyu513@163.com

2010 MSC:34C40