凸數列的幾個加權和性質的控制證明

石煥南，張鑒，顧春

凸數列的幾個加權和性質的控制證明

石煥南，張鑒，顧春

(北京聯合大學師范學院基礎部，北京100011)

利用受控理論并結合概率方法給出凸數列的幾個加權和性質的新證明.

凸數列;加權和;受控;概率方法;不等式

受控理論(Theory of Majorization)，亦稱控制不等式理論是不等式研究的有力武器.近些年我國學者在國內外已發表了眾多有關該領域的研究論文，例如文獻［1－6］，詳細的內容請參見文獻［7］.

在本文中，Rn和分別表示n維實數集和n維非負整數集，并記R1=R，=Z+.N*表示正整數集.若實數列{ai}(有限的{ai}或無限的{ai})滿足條件

其中i=2，3，…，n－1或i≥2，則稱{ai}是一個凸數列.若上述不等式反向，則稱數列{ai}是一個凹數列.

文獻［8－9］利用數學歸納法和Abel變換給出了凸數列的幾個有趣的加權和性質，即下述5個定理.本文利用受控理論并結合概率方法給出這些結果的新的證明.

定理1［8］若{ai}是一個凸數列，p∈Z+，則對任意的n∈N*有

定理2［8］若{ai}是一個凸數列，p∈Z+，則對任意的n∈N*有

定理3［9］若{ai}是一個凸數列，則對任意的n∈N*，n≥3有

定理4［9］若{ai}是一個凸數列，則對任意的n∈N*，n≥3有

定理5［9］若{ai}是一個凸數列，則對任意的n∈N*，n≥2有

其中k、m是不小于n的正整數.

1 定義和引理

需要如下定義和引理.

定義1［10－11］設x=(x1，…，xn)和y=(y1，…，yn)滿足:

其中x［1］≥…≥x［n］和y［1］≥…≥y［n］是x和y的遞減重排，則稱x被y所控制，記作x

引理1［10－11］設x=(x1，…，xn)∈Rn，則

引理2［12－13］設n≥2，數列{ai}是凸數列的充要條件為:對于一切p，q∈，若p

引理3［10－11］設x，y∈Rn，x1≥x2≥…≥xn且若存在k，1≤k＜n，使得xi≤yi， i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，n，則x

引理4［9］對任意n∈N*，有下列等式:

下面用概率方法證明幾個組合恒等式.

引理5設p∈Z+，則對任意的n∈N*有

證明考慮隨機試驗:從自然數1到p+n+1中任取p+1個數，令Ai表示取出的p+1個數的最大數是p+i+1，則

顯然諸Ai互不相容，由此即得(15)式.

引理6設p∈Z+，則對任意的n∈N*，及任意不小于n的正整數k、m有

證明考慮隨機試驗:袋里裝有n+k個球，其中m個紅球，k個白球.現從中任取n(n≤k，n≤m)個球，令X表示取出的n個球中的白球數，則

若令

則X=X1+…+Xk，而

E(Xi)=P(Xi=1)=P(若第i個白球被取出)=

于是

結合(18)和(20)式即得(17)式.

引理7設p∈Z+，則對任意n∈N*有

證明考慮隨機試驗:從自然數1到p+n+1中任取p+1個數，隨機變量X表示取出的最大數與p+1的差，則

從而有

即

又有

另一方面，據文獻［14］，對于整值隨機變量X有

結合(24)和(25)式有

(21)式得證.

對(21)式作變換n－i→i，可知

(22)式得證.

2 主要結果的證明

定理1的證明令

由(23)式有

又由(21)式有

再由x和y的結構，易見存在k，1≤k≤m，使得xi≤yi，i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，m，故據引理3知x

令

由(15)式有

又由(22)式有

再由u和v的結構，易見存在k，1≤k≤m，使得ui≤vi，i=1，2，…，k，ui≥vi，i=k+1，…，m，故據引

理3知u

定理2的證明令

注意

定理3的證明令

再由x和y的結構，易見存在k，1≤k≤m，使得xi≤yi，i=1，2，…，k，xi≥yi，i=k+1，…，m，故據引理3知x

定理4的證明令

令

由引理4有

注意n2≤2n－3n(n+3)，易見存在k，1≤k≤m，使得ui≤vi，i=1，2，…，k，ui≥vi，i=k+1，…，m，故據引理3知u

定理5的證明令

令

由引理7有

再由u和v的結構，易見存在j，1≤j≤s，使得ui≤vi，i=1，2，…，j，ui≥vi，i=j+1，…，s，故據引理3知u

［1］張小明，李世杰.兩個與初等對稱函數有關的S－幾何凸函數［J］.四川師范大學學報(自然科學版)，2007，30(2):188－190.

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Majorized Proof of Several Weighted Sum Properties for Convex Sequence

SHI Huannan，ZHANG Jian，GU Chun
(Department of Basic Courses，College of Teacher’s，Beijing Union University，Beijing 100011)

Using the theory of majorization with the probability method，a new proof of several weighted sum properties for convex sequence is given.

convex sequence;weighted sum;majorization;probability method;inequality

O178

A

1001－8395(2016)03－0373－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.013

(編輯余毅)

2015－03－31

北京市教育委員會科技計劃面上項目(KM201111417006)

石煥南(1948—)，男，教授，主要從事解析不等式的研究，E－mail:sfthuannan@buu.edu.cn

2010 MSC:26B25;26D15