有限體積元法定價歐式期權(quán)

甘小艇，易華

有限體積元法定價歐式期權(quán)

甘小艇1，2，易華3*

(1.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南楚雄675000;2.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海200092; 3.井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西吉安343000)

基于線性有限元空間，構(gòu)造歐式期權(quán)定價模型的2種穩(wěn)定的全離散有限體積元格式.數(shù)值實驗結(jié)果表明，有限體積元法的定價是高效的，而Crank－Nicolson格式的數(shù)值效果要優(yōu)于隱式歐拉格式.

有限體積元法;歐式期權(quán);Crank－Nicolson;隱式歐拉

有限體積元法由R.H.Li等［1］最早提出，目前已和有限差分法、有限元法成為當(dāng)今重要的三大偏微分方程(PDE)數(shù)值方法之一.該方法格式構(gòu)造簡單、數(shù)值精度高、網(wǎng)格剖分靈活和易于處理復(fù)雜的邊界條件，更重要的是可以保持某些物理量局部守恒性，因此在計算流體力學(xué)等領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用［2－4］.

近年來，有限體積元法也被眾多學(xué)者應(yīng)用于期權(quán)定價問題的計算中，并受到了廣泛的關(guān)注和研究［5－13］，其中，文獻(xiàn)［5－9］采用的是一種被稱之為“Fitted Finite Volume Method”的離散方法對期權(quán)定價模型進(jìn)行離散，最后得到期權(quán)的價格.文獻(xiàn)［10］則對“stochastic volatility”模型的對流項和擴(kuò)散項分別采用有限體積法和有限元法離散，并結(jié)合懲罰函數(shù)法得到期權(quán)的價格.由于“Fitted”有限體積法并非基于有限元空間下的離散，因此該方法并不是真正意義上的有限體積元法，它更像是積分插值的改進(jìn).最新的經(jīng)典有限體積法定價美式期權(quán)和求解復(fù)雜發(fā)展方程詳見文獻(xiàn)［12－15］.

通常地，歐式期權(quán)具有顯示的定價公式，但過于復(fù)雜的表達(dá)式往往給計算帶來許多困難，因此有時候人們更愿意采用先進(jìn)而穩(wěn)定的數(shù)值方法結(jié)合計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行科學(xué)計算.基于此，本文獨(dú)立于文獻(xiàn)［6］的思想，詳細(xì)討論了一類更加簡單直接定價歐式期權(quán)的有限體積元格式，數(shù)值實驗驗證了該方法的穩(wěn)定性和高效性.

1 歐式期權(quán)模型

本文考慮的歐式期權(quán)定價問題是定義在無限的區(qū)域［0，∞)×［0，T］上，并帶有Dirichlet邊界條件和一個終止條件.為了利用有限體積元法求解這些問題，把問題限制在一個截斷的區(qū)域［0，X］×［0，T］，其中X要取得足夠大，一般為原生資產(chǎn)價格的3倍或者更多［12－13，16］.

考慮歐式期權(quán)的初邊值問題，求u=u(x，t)使得

其中，函數(shù)u是期權(quán)價格，它隨著原生資產(chǎn)價格x和時間t的變化而變化，σ和r分別為波動率和無風(fēng)險利率(均假定為常數(shù))，

對于歐式看跌期權(quán)，邊界條件是

終止條件u(x，T)=g(x)，收益函數(shù)

E為敲定價格.

另外，對于歐式看漲情況.邊界條件是

終止條件u(x，T)=g(x)，收益函數(shù)

2 有限體積元離散

本節(jié)主要給出歐式看跌期權(quán)的有限體積元離散，看漲情況的處理相類似.

文中記Hm(I)為通常的Sobolev空間，‖·‖m為相應(yīng)的范數(shù)，H0(I)=L2(I)空間上的范數(shù)與內(nèi)積分別記為‖·‖和(·，·).設(shè)X是一個Banach空間，u(t):［0，T］→X表示X值函數(shù)，并定義空間如下

為敘述方便，在Black－Scholes偏微分方程(1)中令τ=T－t(文中仍記時間變量為t)，然后將其簡化為如下變系數(shù)拋物型方程

其中，系數(shù)

σ和r可看成常數(shù)，相應(yīng)的終止條件轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔祮栴}(以看跌為例)，即

邊界條件仍為(2)式.采用類似文獻(xiàn)［12］中的試探函數(shù)空間Uh(線性元)和檢驗函數(shù)空間Vh(分片常數(shù))，則求解拋物型方程(4)的半離散有限體積元格式為:求uh∈Uh使得

或者等價

其中Φi為Vh的特稱函數(shù)，雙線性形式

經(jīng)有限體積元離散，則半離散有限體積元格式(7)對應(yīng)的矩陣形式為

其中

其中，A為m階方陣，u為m×1列向量，矩陣A中的元素詳見文獻(xiàn)［10］.

下面考慮方程(4)的全離散有限體積元格式.假設(shè)時間方向上步長為Δt=T/n，則［0，T］對應(yīng)如下均勻網(wǎng)格剖分

采用相同的Uh和Vh，則方程(4)的全離散有限體積格式為:求(j=1，2，…，n)∈Uh使得

或者等價

其中

當(dāng)θ=1時，格式為隱式歐拉格式;當(dāng)θ=1/2時，格式變?yōu)镃rank－Nicolson格式.由(9)式可知，(10)式對應(yīng)的矩陣形式為

其中

在(11)式中令

則全離散格式對應(yīng)的矩陣形式為

關(guān)于代數(shù)系統(tǒng)(12)的計算將在下面給予詳細(xì)討論.

3 數(shù)值實驗

本節(jié)的數(shù)值實驗以2個歐式期權(quán)為例，詳細(xì)驗證了本文中有限體積元格式的有效性.所有的代數(shù)方程組均采用超松弛迭代法(SOR)求解，其中松弛因子取經(jīng)驗值ω=1.2，容許誤差為ρtol=1e－8.

數(shù)值實驗中的IT指的是所有時間層上的平均迭代步數(shù)，CPU表示SOR方法計算所有時間層所需的CPU時間，誤差指的是相對誤差，計算公式如下:

其中，‖·‖2表示向量的2范數(shù)，u和u*分別表示t=0時刻時的數(shù)值解和精確解(精確解可采用BS定價公式計算).

例1模型(1)中參數(shù)

數(shù)值計算區(qū)域取:［0，150］×［0，3］，其中模型參數(shù)與文獻(xiàn)［16］取值相同.

首先，在圖1中顯示了當(dāng)網(wǎng)格剖分(m，n)= (599，600)時，采用Crank－Nicolson有限體積元格式計算歐式看跌和看漲期權(quán)所得的價格曲面(當(dāng)t =0時).

表1 有限體積元解與真解比較Table 1Comparison of finite volume element solutions and true solutions

表1中給出了數(shù)值解與精確解的比較.由表1可看出，2種全離散格式的計算都是精確的，且數(shù)值精度都隨著網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)的增大變得更加精確，而Crank－Nicolson格式的數(shù)值效果要好于隱式歐拉格式.

表2比較2種全離散格式的平均迭代步數(shù)，CPU時間和誤差.由表2可知，2種全離散格式所需的CPU時間都隨著網(wǎng)格的加密而變大.當(dāng)空間剖分?jǐn)?shù)不變，時間方向翻倍時，2種格式的迭代步數(shù)變小，這是因為矩陣

隨著時間剖分?jǐn)?shù)變小而變得更加對角占優(yōu)的緣故.然而，相同的網(wǎng)格剖分下，Crank－Nicolson格式所需的迭代步數(shù)和CPU時間都要比隱式歐拉的少，這說明了Crank－Nicolson格式的計算效率要優(yōu)于隱式歐拉格式.

表2 2種格式平均迭代步數(shù)，所需的CPU時間和誤差比較Table 2Comparison of two schemes on average iteration number，CPU time and error

例2考慮帶支付紅利(股息)的歐式看漲期權(quán)

其中，q為紅利率，相應(yīng)的邊界條件

終止條件

模型(13)中參數(shù)取

數(shù)值計算區(qū)域取:［0，700］×［0，1］，這里的模型參數(shù)與文獻(xiàn)［6］取值相同.

圖2中顯示了當(dāng)網(wǎng)格剖分(m，n)=(349，300)時，采用Crank－Nicolson有限體積元格式計算所得的價格曲面(當(dāng)t=0時).由圖2可知，文中格式計算所得的期權(quán)價格曲面與文獻(xiàn)［6］非常吻合.值得注意的是，基于簡化的變系數(shù)拋物型方程的離散，文中所構(gòu)造的有限體積元格式要比文獻(xiàn)［6］更加簡單直接，更有利于進(jìn)一步應(yīng)用和推廣.

4 結(jié)語

本文考慮了歐式期權(quán)定價模型的2種穩(wěn)定的全離散有限體積元格式，超松弛(SOR)迭代法被用來求解離散后的代數(shù)系統(tǒng).2個數(shù)值例子結(jié)果表明，文中所構(gòu)造的有限體積元格式在期權(quán)定價中是有效的，Crank－Nicolson格式的數(shù)值效果要優(yōu)于隱式歐拉格式.由于線性有限體積元法的檢驗函數(shù)空間取為分片常數(shù)函數(shù)空間，其計算量明顯少于有限元法，并具有著較高的數(shù)值精度，數(shù)值實驗也驗證了這一點(diǎn)，因此該方法在期權(quán)定價中具有著非常廣泛的應(yīng)用前景.

致謝井岡山大學(xué)博士啟動基金(JZB1304)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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Finite Volume Element Method for Pricing European Option

GAN Xiaoting1，2，YI Hua3
(1.College of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal College，Chuxiong 675000，Yunnan; 2.Department of Mathematics，Tongji University，Shanghai 200092; 3.School of Mathematics and Physics，Jinggangshan University，Ji’an 343009，Jiangxi)

In this paper，we drive two kinds of full discrete finite volume element schemes for pricing European option based on a linear finite element space.Numerical experiments confirm the perform of the finite volume element method，and further show that the Crank-Nicolson scheme is more efficient than the backward Euler scheme.

finite volume element method;european option;Crank-Nicolson;backward Euler

O241.82

A

1001－8395(2016)03－0327－05

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.005

(編輯陶志寧)

2015－03－11

云南省青年項目(2013FD045)和云南省教育廳科研項目(2015Y443)

*通信作者簡介:易華(1973—)，男，講師，主要從事數(shù)值計算的研究，E－mail:yihua@whu.edu.cn

2010 MSC:65M08