一類冪函數的半共軛

石勇國，鐘韜

一類冪函數的半共軛

石勇國1，鐘韜2

(1.信陽師范學院數學與信息科學學院，河南信陽464000;2.四川交通職業技術學院，四川成都611130)

運用動力系統方法得到了一種新的實數表示.利用這種實數的表示，給出了冪函數ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0到f1(x)=2|x|－1的半共軛的精確表達式.

區間映射;半共軛;冪函數;實數表示;共軛方程

設I和J是緊區間.若共軛方程φ°f=g°φ存在連續解φ:I→J，則稱自映射f:I→I和g:J→J是拓撲半共軛，簡稱f半共軛于g.連續映射φ稱作拓撲半共軛，簡稱半共軛.進一步，如果連續映射φ是雙射，那么稱f和g是拓撲共軛，簡稱f共軛于g.

如果2個映射共軛，則它們具有相同的動力學性質;如果f半共軛于g，則映射f的動力學性質至少像g那樣復雜.這樣，考慮某個映射的動力學性質，一般先將這個映射(半)共軛到最簡單的映射，即是所謂的正規型.

W.Parry［1］首先給出了關于區間映射共軛的經典結果:若多峰映射f是傳遞的，則f共軛于一個斜率為±s的逐段線性映射，其中log s為f的拓撲熵.后來，J.Milnor等［2］進一步給出了半共軛的結果:如果f是連續的逐段單調的區間映射，拓撲熵log s＞0，則f半共軛于一個斜率為±s的逐段線性映射，而且這樣的半共軛是單調的.J.F.Alves等［3］指出這樣的單調半共軛不唯一.

不妨設I:=［－1，1］，考慮區間I上的冪函數ft(x)=2|x|t－1，t＞0，如圖1所示.這類映射是一類單谷映射，最簡單的形式是逐段線性映射f1(x)=2|x|－1.J.Mycielski［4］利用所謂的零點匹配法［5］構造共軛，證明了:對于1/2≤t≤2，ft共軛于f1;對于0＜t＜1/2，ft不共軛于f1.C.Kawan［6］利用不動點定理得到:對于t＞1，ft共軛于f1.于是有:對于t≥1/2，ft共軛于f1.

D.S.Ou等［7］考慮了單峰映射與帳篷映射的半共軛問題，及其推廣.由他們的結論可得到:對于0＜t＜1/2，ft半共軛于f1，而且遞增的半共軛存在且唯一.由于無法找到半共軛的精確表達式，他們利用逐段線性的函數序列逼近半共軛.一個有意思的問題是如何準確確定半共軛，這也是求解共軛方程的核心問題之一［8－9］.

本文利用實數的f1展開，對于t＞0，給出了映射ft到f1的半共軛的精確表達式.該方法可以推廣到一般的單谷或單峰映射的半共軛問題.無需逼近，即可得到精確的半共軛.

1 實數的f1展開

下面介紹f1展開的概念.它是文獻［10］中一類特殊的展開.

考慮區間I=［－1，1］，按照f1的谷點，將它分成2部分:

任意的實數x∈I有下面的展開表達式

不論哪種情形，均有x2∈I.

迭代上面過程，得到一個序列{xn}，這里x1= x，且對于n≥2有

令

于是

這樣x可以展開成級數的形式

類似于二進制，對于每個x∈I都可以通過0－1序列{εn}n∈N表示.簡記為

容易得到x=－1的f1展開為［1，0，0，0，…］;x=0的f1展開為［1，1，0，0，0，…］;x=1的f1展開為［0，0，0，0，…］.對于每個0－1序列{εn}n∈N，根據上面的展開式，在I上存在唯一一個實數與之對應.

定義關于映射f1展開的柱集.

可以看出這些集合是端點為［ε1，ε2，…，εk，1，0，0，0，…］和［ε1，ε2，…，εk，0，0，0，…］的閉區間.因此這些閉區間的長度為

2 半共軛的精確表達式

定義2.1給定t＞0，一個0－1數列{εn}n∈N稱為點x∈I關于映射ft的跡，如果

特別地，當上面定義的映射ft是映射f1時，點x∈I關于映射f1的跡就是f1展開式.

下面給出半共軛的精確表達式

定理2.2給定t＞0，任取點x∈I，設0－1數列{εn}n∈N是點x關于映射ft的跡，則φt:I→I

是映射ft到映射f1的一個半共軛.

利用MATLAB畫出φt曲線，如圖2所示.

證明首先證明定義的φt滿足φt°ft=f1°φt.因為點ft(x)關于映射ft的跡為{ε2，ε3，…，εn，…}，于是

另一方面，若φt(x)≤0，則ε1=1，于是

若φt(x)＞0，則ε1=0，于是

因此，對于所有x∈［－1，1］，都有φt°ft=f1°φt.

再證明φt是區間［－1，1］上的連續的滿射.根據跡，容易得到φt(－1)=－1，φt(0)=0和φt(1)=1.下面分3種子情形證明.

情形(i)任取x∈［－1，1］使得對于所有的非負整數k，ft

k(x)≠0.證φt在這樣的點x上連續.事實上，由ft的連續性知ft的所有次迭代也連續.任取?＞0，選擇N使得2－(N+1)＜?.令

存在一個δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，那么對于k=0，1，2，..，N均有|(x)－(x')|＜δ'.由x， x'的假設，則x，x'關于映射ft的跡在前N+1個位置相同，根據φt的定義有|φt(x)－φt(x')|≤2－(N+1)＜?.

情形(ii)證φt在點x=0處連續.知道無窮數列{1，1，0，0，0，…}是點x=0關于映射f1的跡;前面N+1個數字具有形式{1，1，0，0，0，…}的跡的點x都落在區間［－1/2N，0］上;前面N+1個數字具有形式{0，1，0，0，0，…}的跡的點x都落在區間［0，1/ 2N］上.同時，點x=0關于映射ft的跡是{1，1，0，0，0，…}.任取?＞0，選擇N使得1/2N－1＜?.于是對于所有的正整數k，有fk(c)≠c，類似情形(i)的證明，可以找到一個δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|0－x'|＜δ，點x=0和x'關于映射ft的跡至少從第2個位置到前N+1個位置相同.這樣φt(x)∈［－1/2N，1/2N］上，由于φt(0)=0，所以|φt(x')－φt(0)|≤1/2N－1＜?.

情形(iii)討論x≠0但存在正整數k使得fk(x)=0的所有這樣的點，證φ在這樣點x處連續.設存在最小的正整數N使得fN(x)=0，記y=0=fN(x).由情形(ii)，φ在這樣點y=0處連續，即對于任取?＞0，存在δ'＞0使得如果y'∈［－1，1］且|y－y' |＜δ'，則有|φt(y)－φt(y')|＜?.令存在正數δ使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，則有|(x)－(x')|＜δ'和(x)－(x')|＜γ，k=0，1，2，..，N－1.這樣點x和x'關于映射ft的跡的前N個位置相同.因此，令g－i1表示f1某個單調區間上的逆映射

證畢.

注2.3根據φt公式，容易驗證φt(x)≥0當且僅當x≥0.φt(x)=0當且僅當x=0.進一步可得φt(［－1，0］)=［－1，0］，φt(［0，1］)=［0，1］.

注2.4給定0＜t＜1/2，設0＜x0＜1是映射ft的不動點.于是對于任意的x∈［x0，1］，x關于映射ft的跡{0，0，0，…}，所以φt(x)=1.對于任意的x∈［－1，(x0+1)1/t］，x關于映射ft的跡{1，0，0，0，…}，所以φt(x)=－1.

致謝四川師范大學博士科研啟動一般項目(2015KYQD314)對本文給予了資助，謹致謝意.

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Semi-conjugacies for a Type of Power Functions

SHI Yongguo1，ZHONG Tao2
(1.College of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，Henan; 2.Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，Sichuan)

With the method of dynamical system，we obtain a new representation of real numbers.Using this new real number representation，we obtain the explicit expression of the semi-conjugacy of the power function ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0 to f1(x)=2|x|－1.

maps of the interval;semi-conjugacy;power function;real number representation;conjugacy equation

46B20;39B12

A

1001－8395(2016)03－0318－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.003

(編輯周俊)

2015－11－19

國家自然科學基金(11301256)，四川省教育廳科研創新團隊基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學一般項目(16ZB0063)

石勇國(1978—)，男，副教授，主要從事函數方程的研究，E－mail:scumat@163.com

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2010 MSC:26A03