一類利用卷積定義的p葉解析函數類的系數邊界

李 靜

一類利用卷積定義的p葉解析函數類的系數邊界

李 靜

(江漢大學文理學院，湖北武漢430056)

卷積是研究解析函數的有效工具，對于解析函數的系數研究起到很大的作用．利用卷積定義了一類在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內的p葉解析函數類MDδ，pa，c(λ，b，α，β)，利用正實部函數族的系數性質，得到了它的全體系數邊界，同時推廣了一些常用的結論．

卷積;算子;系數;星象函數;凸函數

1 預備知識

設A(p)表示單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內具有泰勒級數

f(z)與g(z)的卷積定義為

R．M．Goel等［2］定義了線性算子

其中

其中

經計算得:

為了敘述方便，下文記

近期對于上述相關算子的研究，可以參看文獻［7－16］．另外，還注意到

且

下面是一些特殊的函數類:

2 主要結論

引理1［23］若h(z)=1+c1z+c2z2+…(z∈U)為正實部解析函數，即Rh(z)＞0，則|ck|≤2，k=1，2，…．

則

移項得

即

由于≤α≤β，易知0≤ξ＜1，所以

其中，η =(1－β)cos λ+i(1－α)sin λ．

定義函數p(z)滿足等式

其中p(z)在U內解析且p(0)=1，Rp(z)＞0．現記

將(7)式代入(6)式得

將上式進行變形得到

利用(3)式得

即

比較上式2邊項zn+p－1的系數得

利用引理1得

下面用數學歸納法證明結論．在(8)式中令n =2得

這就證明了(4)式．令n=3，并利用(9)式得

假設(5)式對n=k成立，即

當n=k+1時有

這就證明了(5)式．

推論1［19］設f(z)∈SD(α，β)，則

證明 在定理2中令a=c，δ=0，p=1，λ= 0，b=2．

推論2 設f(z)∈S*(β)，則

證明 在推論1中令α=0．

推論3［20］設f(z)∈KD(α，β)，則

證明 在定理2中令a=c，δ=1，p=1，λ= 0，b=1．

推論4 設f(z)∈K(β)，則

證明 在推論3中令α=0．

定理3 設f(z)∈A(p)由(1)式定義，若滿足下面不等式

證明 為簡便起見，記

則要證明的結論即為

利用(3)式，經計算得

由于

所以

結合(11)式，如果(12)式的最后一個式子有上界1，即

上式經整理得

此式即為(10)式．此時由(12)式有

推論5［24］設f(z)∈A(p)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈Sp*(β)．

證明 在定理3中令a=c，δ=－p+1，λ= 0，b=2，α=0．

推論6［25］設f(z)∈A(1)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈S*(β)．

證明 在推論5中令p=1．

推論7［24］設f(z)∈A(p)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈Kp(β)．

證明 在定理3中令a=c，δ=－p+2，λ= 0，b=1，α=0．

推論8［26］設f(z)∈A(1)由(1)式定義，若滿足下面不等式

則f(z)∈S*(β)．

證明 在推論5中令p=1．

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Coefficient Bounds for a Subclass of p-valent Analytic Functions by Convolution

LI Jing

(College of Arts and Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei)

Convolution is an effective tool to study analytic functions，which plays a significant role in the study of the coefficient of analytic functions．In this paper，a subclass(λ，b，α，β)of p-valent analytic functions defined by convolution in the open disc U ={z∈C:|z|＜1}is introduced．The aim of the paper is to study all coefficient bounds of the above class with coefficient properties of real part functions．Many known results are generalized．

convolution;operator;coefficient;starlike function;convex function

O174．51

A

1001－8395(2016)05－0686－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．013

(編輯 余 毅)

2015－09－25

湖北省教育廳規劃課題(2014B354)

李 靜(1984—)，女，講師，主要從事應用數學的研究，E－mai:2935788547@qq．com

2010 MSC:30C45