共振情形下三階泛函邊值問題解的存在性

杜睿娟，劉利平

共振情形下三階泛函邊值問題解的存在性

杜睿娟，劉利平

(甘肅政法學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅蘭州730070)

運(yùn)用Leray－Schauder原理，討論共振情形下一類三階泛函邊值問題解的存在性，并在允許函數(shù)e滿足e∈L1［0，1］以及e∈L2［0，1］的條件下，分別獲得了三階泛函邊值問題解的存在性結(jié)果．

泛函邊值問題;先驗(yàn)界;Caratheodory條件;共振

線性常微分多點(diǎn)邊值問題的研究起源于V．A．II’in等［1］．受其啟發(fā)，C．P．Gupta［2］討論了非線性二階常微分方程多點(diǎn)非共振邊值問題．此后，許多學(xué)者運(yùn)用不同的非線性工具討論了更一般的非線性常微分方程多點(diǎn)邊值問題［3－7］．近年來，對(duì)共振情形下非線性常微分方程邊值問題的研究［8－11］日益增多．文獻(xiàn)［4］討論了如下二階非線性常微分方程

在滿足m點(diǎn)邊值條件

解的存在性，其中 f:［0，1］×R3→R 滿足Carathéodory條件．

受上述工作的啟發(fā)，本文討論m－點(diǎn)邊值條件中當(dāng)點(diǎn)m從有限數(shù)變成為∞時(shí)，三階泛函邊值問題

下解的存在性問題，并在允許函數(shù)e滿足e∈L1［0，1］以及e∈L2［0，1］的條件下，分別獲得了三階泛函邊值問題(1)和(2)解的存在性結(jié)果．本文中函數(shù)f:［0，1］×R3→R滿足Carathéodory條件，β∈R，η∈(0，1)．

用到的主要非線性工具Leray－Schauder原理如下．

定理A 設(shè)T是Banach空間Y上到Y(jié)的緊連續(xù)映射，且存在常數(shù)M＞0，使方程

的所有解(x，λ)∈Y×［0，1］均滿足‖x‖Y≤M，則T在空間Y中存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

注A 該定理的證明可參考文獻(xiàn)［6］中定理1．7．1．

本文總假設(shè)條件β=1成立．顯然在這一條件下，邊值問題(1)和(2)有非平凡解x(t)=c，c∈R．因此本文所討論的問題是共振問題．

1 預(yù)備知識(shí)及引理

記C2［0，1］、L1［0，1］分別是賦范為

的Banach空間，其中

‖x‖∞=max{t∈［0，1］:|x(t)|}．此外，本文還用到經(jīng)典的Banach空間 C［0，1］、C1［0，1］及如下定義的Sobolev空間:

{x∈［0，1］→R:x，x'，x″在［0，1］上絕對(duì)連續(xù)，

記X:=C2［0，1］，Y:=L1［0，1］，Y1是滿足Y= Y1Y2的Y子空間，Y2={x∈Y|x(t)=c，a．e．t∈［0，1］，c∈R}．現(xiàn)對(duì)x∈Y作分解，x(t)=(x(t)－ρ)+ρ，其中

對(duì)x∈Y，ρ如(3)式所定義，定義投影算子P:Y→Y1，Q:Y→Y2，

易見P、Q是連續(xù)算子，且Q=I－P，I為Y中恒同算子．記X2=X∩Y2，X1是滿足X=X1X2的X的子空間．注意到P(X) X1，Q(X) X2，因此算子

均是連續(xù)的．設(shè)e∈Y1L1［0，1］滿足:

由此，易得下列結(jié)果:

引理1．1 設(shè)Q(x(t))=0，t∈［0，1］，則存在ξ∈(0，1)，滿足x(ξ)=0．

證明 反設(shè)x(ξ)≠0，則要么x(ξ)＞0，要么x(ξ)＜0．不妨假設(shè)x(ξ)＞0，則由算子Q的定義可知Qx(ξ)＜0，這與Q(x(t))=0矛盾．同理可證x(ξ)＞0也不成立．

定義線性算子L:D(L) X→Y，Lx=x ，其中

令Ke為邊值問題

滿足(4)式的唯一解，則

其中

易見算子K:Y1→X1是有界的，并對(duì)x∈Y，下式成立

定義非線性算子N:X→Y，

易見泛函邊值問題(1)和(2)等價(jià)于算子方程

其中e∈Y1且滿足(4)式．

2 主要結(jié)論

定理 2．1 設(shè) f:［0，1］×R3→R滿足Carathéodory條件，存在函數(shù)a，b，c，d∈L1［0，1］使得:

則對(duì)給定的滿足條件

的函數(shù)e∈L1［0，1］，泛函邊值問題(1)和(2)在C2［0，1］中至少存在一個(gè)解．

證明 由Arzela－Ascoli定理易證KPN:X→X是緊算子，且易見x∈X是邊值問題(1)和(2)的解當(dāng)且僅當(dāng)x是算子方程

的解．由于求解算子方程Lx=Nx+e等價(jià)于求解系統(tǒng)

這里x∈X，e1=Ke．事實(shí)上，如果x∈X是(8)式的解，則x∈D(L)且

即x(t)是L(x(t))=N(x(t))+e的解．更進(jìn)一步不難看出，(8)式有等價(jià)于單個(gè)方程

因此，由Leray－Schauder原理的特款定理A，要證(9)式有解，只需證得同倫族方程

的所有可能解有一個(gè)不依賴與λ的先驗(yàn)界即可．

由于(10)式等價(jià)于系統(tǒng)

故如果x(t)是(11)和(12)式對(duì)某λ∈(0，1)的解，給(12)式2端同乘Q(x(t))，結(jié)合(H2)可知，對(duì)t∈［0，1］有(1－λ)(Q(x(t)))2≤0．故而Q(x(t)) =0，t∈［0，1］．由引理1．1可知存在t1∈(0，1)使得x(t1)=0，則由

可得‖x‖∞≤‖x'‖∞．

又由x(1)=x(η)，可知存在 t2∈(η，1)使得x'(t2)=0．從而存在t3∈(0，t2)使得x″(t3)=0，則由x″(t)=x″(t3)+，可得

由Q(x(t))=0可知QN(x(t))=0．這表明x∈D(L)且滿足

則

從而

即同倫族方程(10)有不依賴與λ的先驗(yàn)解M．

注2．1 定理2．1中函數(shù)e滿足條件e∈L1［0，1］．事實(shí)上，當(dāng)允許函數(shù)e在滿足e∈L2［0，1］條件下時(shí)，運(yùn)用類似的證明方法亦可獲得到如下存在性結(jié)果:

定理 2．2 設(shè) f:［0，1］×R3→R滿足Carathéodory條件，且存在函數(shù)a，b，c，d∈L2［0，1］使得(H1)、(H2)成立，且滿足1，則對(duì)給定的滿足條件(4)的e∈L2［0，1］，泛函邊值問題(1)和(2)在C2［0，1］中至少存在一個(gè)解．

證明 方法類似于定理2．1，所不同的是這里x∈W3，2(0，1)，‖·‖2為 L2［0，1］中范數(shù)．由于x'(0)=0且x(ξ)=0對(duì)某個(gè)ξ∈(0，1)成立，因此

從而

即證得同倫族方程(10)的所有可能解有一個(gè)不依賴與λ∈(0，1)的先驗(yàn)界．

致謝 甘肅政法學(xué)院科研資助青年項(xiàng)目(GZF2013XQNLW030)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意．

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Existence of Solutions for Third-order Functional Boundary Value Problems at Resonance

DU Ruijuan，LIU Liping

(College of Information Engineering，Gansu Political Science and Law Institute，Lanzhou 730070，Gansu)

In this paper，by using Leray-Schauder theory，we study the solvability under the conditions of e∈ L1［0，1］and e∈L2［0，1］，the existence of solution for the above third-order functional boundary value problems at resonance are obtained．

functional value problem;priori bounds;Caratheodory conditions;resonance

O175．8

A

1001－8395(2016)05－0682－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．012

(編輯 陶志寧)

2015－07－15

甘肅省自然科學(xué)基金(145RJZA075)

杜睿娟(1981—)，女，講師，主要從事非線性常微分方程邊值問題研究，E－mail:duruijuan1126@126．com

2010 MSC:34B15