算子方程Xs+A*X－tA=Q的正算子解問(wèn)題

楊凱凡， 李金龍， 竇艷妮

算子方程Xs+A*X－tA=Q的正算子解問(wèn)題

楊凱凡1， 李金龍1， 竇艷妮2

(1．陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西漢中723001; 2．陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西西安710062)

算子方程是算子論中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，近年來(lái)得到很大的發(fā)展．利用算子論知識(shí)和構(gòu)造迭代序列的方法，研究算子方程Xs+A*X－tA=Q的正算子解的問(wèn)題，給出了算子方程Xs+A*X－tA=Q正算子解存在的一些必要條件和充分條件，并研究了方程中各算子的范數(shù)、譜半徑之間的關(guān)系，確定了解的范圍．

算子方程;譜半徑;正算子

近年來(lái)，X+A*X－2A=Q，X－A*X－tA=I等形式的矩陣方程受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注(參見(jiàn)文獻(xiàn)［1－5］)．前人在有限維空間上，利用矩陣論的知識(shí)，得到了這類方程有正定矩陣解的條件．本文將前人的研究結(jié)果從有限維空間推廣到無(wú)限維Hlibert空間中，在無(wú)限維Hlibert空間上，利用算子論的知識(shí)，研究了算子方程Xs+A*X－tA=Q正算子解問(wèn)題．

設(shè)H是一個(gè)無(wú)限維可分Hilbert空間，B(H)表示H上的所有有界線性算子組成的全體．本文主要研究非線性算子方程

的正算子解的問(wèn)題，其中X是B(H)上的未知算子，A，Q∈B(H)是給定的算子且Q＞0，t＞s是給定的正整數(shù)．本文給出了方程(1)正算子解存在的一些必要條件和充分條件．首先，給出本文中用到的一些符號(hào)和術(shù)語(yǔ)．

設(shè)A∈B(H)，如果對(duì)任意x∈H，都有(Ax，x)≥0，則稱A為正算子，記作A≥0(此處(x，y)表示向量x，y的內(nèi)積)．如果A是正算子并且是可逆的，則記為A＞0．若T，S∈B(H)是自伴算子，T≥S是指T－S為正算子，T＞S是指算子T－S為正算子并且是可逆的．對(duì)于A∈B(H)，A*、ω(A)、σ(A)、r(A)分別表示算子A的伴隨算子、數(shù)值域半徑、譜和譜半徑．

1 預(yù)備知識(shí)

首先，給出一些定義和基本引理．

定理1．1［6］設(shè)T∈B(H)，若T是正規(guī)的，則有r(T)=‖T‖．

定理1．2［6］設(shè)A、B是B(H)上的自伴算子且滿足A≤B，則對(duì)任意T∈B(H)，有T*AT≤T*BT．

定理1．3［7］設(shè)P、Q是正算子，且滿足P＞Q．如果PQ=QP，則對(duì)任意實(shí)數(shù)t≥1，有Pt≥Qt．

定理1．4［7］設(shè)T是B(H)上的可逆算子，則對(duì)任意x∈H有

對(duì)于B(H)上的正算子，顯然有:

1)若P≥Q＞0，則P－1≤Q－1;

2)對(duì)于B(H)上的正算子A，有A≤‖A‖I．

2 主要結(jié)論及其證明

證明 若算子方程(1)有正算子解X，則0≤A*X－tA≤Q且Xs≤Q．由A*X－tA＜Q可得

定理2．2 若算子方程(1)有正算子解X，記‖Q‖=a，則

證明 1)從方程(1)有

即

所以

根據(jù)X的譜分解可得

因此有

因此

2)由方程

有

根據(jù)Douglas值域包含定理，存在算子C∈B(H)且‖C‖=1使得

因此

所以

由此可得

定理2．3 若算子方程Xs+A*X－tA=Q有正算子解X，則有

證明 顯然A*X－tA≥0，所以由方程可知

因?yàn)閠＞s，所以

所以

同理

所以

即

證明 若算子方程Xs+A*X－tA=Q有正算子解X且記‖Q‖=a則

所以

又因?yàn)?/p>

所以

因此A不是下有界的．

定理2．5 設(shè)A∈B(H)．算子方程Xs+A*X－tA=Q有正可逆算子解X當(dāng)且僅當(dāng)A有如下的分解形式Z，其中W、Z滿足W*W+Z*Z=Q且W是可逆的．

證明 設(shè)X為算子方程Xs+A*X－tA=Q的正

即X是方程(1)的一個(gè)正可逆算子解．

定理2．6 若算子方程Xs+A*X－tA=Q有正算子解X，則且其中是方程T)在區(qū)間上的解．

證明 來(lái)考慮迭代序列

令X是方程(1)的一個(gè)正算子解，則Xs=QA*X－tA≤Q，即Xs≤α0Q．假定Xs≤αkQ有

因此對(duì)任意n=0，1，2，…，Xs≤αnQ．容易驗(yàn)證序列{αn}是一個(gè)單調(diào)遞減序列，所以{αn}收斂．令則

下面證明序列{αn}的極限在區(qū)間內(nèi)．假設(shè)顯然α0=1＞，則

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Positive Solutions to the Operator Equation Xs+A*X－tA=Q

YANG Kaifan1， LI Jinglong1， DOU Yanni2

(1．College of Mathematics and Computer Science，Shaanxi Sci-Tech University，Hanzhong 723001，Shaanxi; 2．College of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi’an 710062，Shaanxi)

In this paper，by using the operator theory and the iterative sequence，the positive operator solutions to the operator equation Xs+A*X－tA=Q are studied．The necessary conditions and sufficient conditions for the existence of positive operator solutions to the equation are derived respectively．Also，the relations of operators A，Q and X in the form of norm and spectral radius are discussed when the equation has positive solutions．And the range of the solutions is determined．

operator equation;spectral radius;positive operator

O177．91

A

1001－8395(2016)05－0655－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．007

(編輯 周 俊)

2015－09－29

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301318)和陜西省教育廳基金(16JK1133)

楊凱凡(1979—)，女，副教授，主要從事算子理論的研究，E－mail:ykf201@126．com

2010 MSC:47A10;47A50;47A46