帶你走進“圖形旋轉”中考題

徐永清

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帶你走進“圖形旋轉”中考題

徐永清

中心對稱圖形是初中數學中的重要內容，也是歷年中考的熱點.所涉及的圖形旋轉變換題又是中考的一大難點，現結合中考試題舉例說明，供同學們參考.

【走進中考】在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是AB，AC的中點.若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0°<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P.

（1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等于_______，線段CE1的長等于_______；（直接填寫結果）

（2）如圖2，當α=135°時，求證：BD1= CE1，且BD1⊥CE1.

圖1

圖2

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質結合勾股定理分別得出BD1的長和CE1的長；

（2）根據旋轉的性質得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，進而求出△D1AB≌△E1AC （SAS），即可得出答案.

【解答】（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，∴AE=AD=2，

∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0°＜α≤180°），

（2）當α=135°時，如圖2，∵Rt△AD1E1是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉135°得到，

∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，

∴△D1AB≌△E1AC（SAS），

∴BD1=CE1，

且∠D1BA=∠E1CA，記直線BD1與AC交于點F，

∴∠BFA=∠CFP，

∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1.

【點評】此題主要考查了幾何變換以及等腰直角三角形的性質和勾股定理等知識，根據題意證出△D1AB≌△E1AC是解題的關鍵.

【回歸教材】蘇科版八（下）第91頁復習鞏固第4題

如圖3，△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形，BC，DE分別是這兩個等腰三角形的底邊.圖中△ACE可以看成由哪個三角形通過怎樣的旋轉得到的？證明△ACE與這個三角形全等.

圖3

【分析】本題根據圖形旋轉和等腰三角形的性質，可以得到△ACE≌△ABD.

【解答】如圖3中△ACE可以看成由△ABD繞著點A逆時針旋轉得到的.

∵△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=45°.

∴∠BAD=∠CAE.

∴△ACE≌△ABD（SAS）.

【點評】此題主要考查了圖形的旋轉以及等腰三角形的性質，比較容易解決.

【變式訓練】如圖：兩個等腰Rt△ABC、△DEF，將△DEF繞著點C旋轉.

（1）如圖4，若DF與AC在同一條直線上時，連接BF、AE，請問它們之間有怎樣的數量關系？

圖4

圖5

（2）如圖5，若DF落到了△ABC的形內，結論還成立嗎？

（3）如圖6，若DF落到了△ABC的形外，結論還成立嗎？

【分析】本題是一道幾何圖形的變換題，主要考查旋轉變換中全等三角形的判定與性質.當DF落到了△ABC的形內、形外時，我們可由圖形變換中的一些本質屬性完成結論的證明.

圖6

【解答】（1）∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DE=DF，∠BCA=∠EDF=90°.

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴BF=AE.

（2）∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DE=DF，∠BCA=∠ECF=90°.

∵∠BCF=∠BCA-∠ACF=90°-∠ACF，∠ACE=∠ECF-∠ACF=90°-∠ACF，

∴∠BCF=∠ACE.

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴BF=AE.

（3）∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DE=DF，∠BCA=∠ECF=90°.

∵∠BCF=∠BCA+∠ACF=90°+∠ACF，∠ACE=∠ECF+∠ACF=90°+∠ACF，

∴∠BCF=∠ACE.

∴△BCF≌△ACE（SAS），∴BF=AE.

【點評】本題抓住圖形旋轉中的一般規律，點動形變、方法不變的本質，即證明△BCF≌△ACE（SAS）.其實圖中的這兩條線段所在的直線始終保持垂直的位置關系，請同學們不妨試著完成證明.

【名題欣賞】如圖7，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連接BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上.

（1）證明BF=CD；

（2）將圖7中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖8，猜想此時線段BF與CD的關系，并證明你的結論.

圖7

圖8

【分析】本題是一道幾何綜合題，考查了旋轉變換中全等三角形的判定與性質.解題關鍵是：第一，善于發現幾何變換中不變的邏輯關系，即△BOF≌△COD；第二，熟練運用等腰直角三角形的相關性質.本題（1）（2）問的解題思路一脈相承，有利于同學們進行學習與探究.

【解答】（1）如圖7所示，∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，

∴OB=OC，∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，

∴OF=OD，∠DOF=90°.

∴∠BOF=∠COD=90°.

∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD.

（2）猜想：BF=CD，BF⊥CD.

如圖9所示，連接OC、OD，延長BF交CD于點G.

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，

圖9

∴OB=OC，

∠BOC=90°.

∵△DEF為等腰直角三角形，

點O為斜邊EF的中點，

∴OF=OD，∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD，

∠ABF=∠DCO.

∵∠ABF+∠1+∠BOC=∠DCO+∠2+ ∠BGC=180°，

∴∠BGC=∠BOC=90°，即BF⊥CD.

【點評】此題主要考查了圖形的旋轉變換，抓住幾何變換中的一些變與不變的解題思路，這對以后的學習與探究很有幫助.

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校）