中考題中的幾何變換

萬中杰

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中考題中的幾何變換

萬中杰

幾何變換作為重要的研究手段和方法，在探索與發現圖形的性質與圖形的關系等方面有著極為廣泛的應用.幾何變換包括圖形的平移、翻折與旋轉.近幾年中考中，出現了大量與此相關的問題.“平移、翻折與旋轉”刻畫的是兩個全等圖形特定的位置關系，任何圖形通過“平移、翻折與旋轉”后得到的新圖形與原圖形之間僅僅是位置發生了變化，而圖形的形狀與大小都沒有變化.下面舉例說明.

一、在平移中構造與發現

例1（2015·棗莊）如圖1，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′.

（1）證明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，試問當點C′在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC′D′是菱形，并請說明理由.

圖1

【解析】（1）矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′得A′D′=BC=AD，A′D′∥AD∥BC，AA′=CC′，∴∠D′A′C′=∠BCA，∴△A′AD′≌△CC′B.

（2）當點C′是線段AC的中點時，四邊形ABC′D′是菱形，理由如下：

【點評】決定平移前后圖形位置的兩個基本因素是平移的方向和距離，本題通過“平移不改變圖形的形狀和大小”的性質，再結合平移前后圖形的相應位置進行分析、綜合、探究與解答.

二、在翻折中體驗與發現

例2（2015·揚州）如圖2，將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕l交CD邊于點E，連接BE.

（1）求證：四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）若BE平分∠ABC，求證：AB2=AE2+ BE2.

圖2

【思路點撥】（1）利用翻折變換的性質以及平行線的性質，我們有∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進而求出四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）利用平行線的性質結合勾股定理得出答案.

證明：（1）∵將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四邊形DAD′E是平行四邊形，

∴DE=AD′，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴CE=D′B，CE∥D′B，

∴四邊形BCED′是平行四邊形；

（2）∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠EBA，

∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵∠DAE=∠BAE，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∴AB2=AE2+BE2.

【點評】圖形的折疊問題是近幾年中考試題常見題型.在解答此類問題時，要明白折痕兩邊的圖形是軸對稱圖形，然后再利用軸對稱變換的性質解題.它要求我們能根據題目中的折疊發現其中的變量與不變量，或者變化的趨勢與內在聯系，挖掘其中隱含的規律或相關的結論.

三、在旋轉中構造與探究

例3（2015·甘南州）如圖3，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB= ∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H.

（1）求證：CF=CH；

（2）如圖4，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論.

圖3

圖4

【思路點撥】（1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ACB=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，從而得出結論；

（2）根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE= 45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，又由AC=CD，從而判斷出四邊形ACDM是菱形.

【解析】（1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.

在△BCF和△ECH中，

∴△BCF≌△ECH（ASA），

∴CF=CH（全等三角形的對應邊相等）；

（2）解：四邊形ACDM是菱形.

證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，

∠BCE=45°，

∴∠1=∠2=45°.

∵∠E=45°，∴∠1=∠E，

∴AC∥DE，

∴∠AMH=180°-∠A=135°=∠ACD，

又∵∠A=∠D=45°，

∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形），

∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形.

【點評】在旋轉變換中要把握好三要素：旋轉中心、旋轉角和旋轉方向，對于圖形的旋轉變換，在變化過程中的不變量、變化量以及由此構造出的新圖形的形狀、位置、大小關系要引起高度重視.解決這類問題的關鍵是以聯系、發展的動態觀點，捕捉和確定某些特殊的圖形或位置，這樣就可以找到解題思路.

例4已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG.

（1）求證：EG=CG；

（2）將圖5（1）中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖5（2）所示，取DF的中點G，連接EG、CG.問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

圖5（1）

圖5（2）

（3）將圖5（1）中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖5 （3）所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）

圖5（3）

【思路點撥】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以證出EG= CG；

（2）△BEF繞B點逆時針旋轉45°后，充分利用G為DF中點，通過添加輔助線，分別構造△DMG≌△FNG，△DAG≌△DCG，△AMG≌△ENG，從而得證；

【解析】（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點，

∴CG=EG.

（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG.

圖6

連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點.

在△DAG與△DCG中，

∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴△DAG≌△DCG.∴AG=CG.

在△DMG與△FNG中，

∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG= ∠NFG，

∴△DMG≌△FNG.∴MG=NG.

在矩形AENM中，AM=EN.

在Rt△AMG與Rt△ENG中，

∵AM=EN，MG=NG，

∴△AMG≌△ENG，

∴AG=EG.∴EG=CG.

（3）（1）中的結論仍然成立，即EG= CG.其他的結論還有：EG⊥CG.

圖7

【點評】充分挖掘相關圖形的信息，關注圖形的性質、定理，把題目中的某些隱含條件挖掘出來，并適當添加輔助線，化一般為特殊，化未知為已知，用從特殊到一般的思想，歸納猜想出結論.

對于“平移、翻折與旋轉”這一類的問題，我們要緊緊抓住：變換后的圖形，其形狀不改變，大小不改變，只是位置發生改變.因此要通過尋找全等的圖形，找到其中線（角）之間的聯系，從而得出結論.