《分式》學習要點

王競進

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《分式》學習要點

王競進

《分式》是初中數學重要內容之一，它涵蓋：分式的概念，分式的基本性質，分式的約分與通分，分式的加、減、乘、除及乘方運算，分式方程的概念以及可化為一元一次方程的分式方程的解法.學習本章時，需要抓住以下幾個要點.

一、認清基本概念

2.根據分式的基本性質，把一個分式的分子和分母分別除以它們的公因式，叫做分式的約分.分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式.

3.根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式變形成同分母的分式，叫做分式的通分，變形后的分母叫做這幾個分式的公分母.幾個分式中各分母系數（都是整數）的最小公倍數與所有字母的最高次冪的積叫做這幾個分式的最簡公分母.

例1下列式子中是分式的是（）.

【解答】所給的四個選項中，選項A、B中的分母都是有理數、不含字母，選項D的分母是無理數π，而不是字母，只有選項C中含有字母，因此，本題答案為C.

【說明】要判別所給的代數式是否分式，只需要從形式上加以判別，只要分母中含有字母就是分式.如代數式就是分式，而代數式就不是分式.

二、理解基本性質

例2下列等式成立的是（）.

【解答】選項A，不能說明這個整式（a-3）一定不等于0，因此，不符合分式的基本性質，是錯誤的；選項B，將分式的分子與分母分別減去整式a，不符合分式的基本性質，是錯誤的；選項C，將分式的分子與分母分別除以整式b，根據分式的意義，這個整式b一定不等于0，因此，符合分式的基本性質，是正確的；根據分式的基本性質，改變分子、分母和分式中兩項的符號，分式的大小不變，選項D，分式分母中僅僅改變第一項的符號，因此，是錯誤的.所以，本題答案為C.

【說明】分式的基本性質是分式變形與化簡的依據.

三、掌握運算法則

1.同分母分式加減運算的法則

2.異分母分式加減運算的法則

3.分式的乘法法則

4.分式的除法法則

【解答】先將兩個分式通分化為同分母分式，再加減，然后約分化簡，即：

所以，本題應該填：

【說明】分式的加減運算，要先看分母是否相同，分母相同時，直接把分子相加，分母不同時，需要找到各分母的最簡公分母進行通分把異分母分式化為同分母分式.分式運算的結果必須是最簡分式或整式.

【解答】先利用分式的加減法則計算出括號里的部分，然后再根據分式的除法法則進行計算可得結果，即：

【說明】進行分式的加、減、乘、除混合運算時，先乘除，后加減，如果有括號，先進行括號內的運算.

四、會解分式方程

解分式方程的一般步驟：（1）去分母，把分式方程化為整式方程；（2）解這個整式方程；（3）檢驗；（4）寫出結論.

A. x=2B. x=6

C. x=-6D.無解

【解答】將方程兩邊同時乘x（x-2）得：3（x-2）=2x，解得x=6.檢驗：當x=6時，x（x-2）=24≠0，因此，x=6是原分式方程的解，故選擇B.

【說明】在分式方程的左右兩邊同時乘分式方程的最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程.解分式方程與整式方程的不同之處在于：求出未知數的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根.驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于0，這個根就是增根，否則這個根就是原分式方程的根.若解出的根都是增根，則原方程無解.

五、能構建分式方程模型解決實際問題

例6（2015·隨州）端午節前夕，小東的父母準備購買若干個粽子和咸鴨蛋（每個粽子的價格相同，每個咸鴨蛋的價格相同）.已知粽子的價格比咸鴨蛋的價格貴1.8元，花30元購買粽子的個數與花12元購買咸鴨蛋的個數相同，求粽子與咸鴨蛋的價格各多少？

【解答】本題中隱含的相等關系式為：花30元購買粽子的個數=花12元購買咸鴨蛋的個數.因此，可以建立方程解決問題.

設咸鴨蛋的價格為x元，則粽子的價格為（1.8+x）元，根據題意得：

經檢驗x=1.2是所列分式方程的解，且符合題意，

則1.8+x=1.8+1.2=3（元）.

答：咸鴨蛋的價格為1.2元，粽子的價格為3元.

【說明】列分式方程解應用題和列整式方程（組）類似，要抓住已知條件中的等量關系式建立方程.特別要注意的是：必須從兩個角度對求得的根進行檢驗，既要檢驗所求未知數的值是否適合原方程，還要檢驗此解是否符合實際意義.

（作者單位：江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團匯文校區）