與特殊四邊形相關的熱點問題

宋志娟

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與特殊四邊形相關的熱點問題

宋志娟

本章探究的是平行四邊形以及特殊平行四邊形的相關知識，重點是分清不同四邊形的區別與聯系，理解和掌握它們的定義、性質及判定方法.這部分內容在中考中經常出現，下面我們通過例子說明解決這類問題的方法.

一、與概念相關的問題

例1已知四邊形ABCD，有以下四個條件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.從這四個條件中任選兩個，能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數共有（）.

A. 6種B. 5種C. 4種D. 3種

【分析】從四個條件可以知道，條件中只涉及四邊形的對邊相等和平行.根據對邊關系判定平行四邊形有以下3種方法：

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

滿足（1）的有①③，滿足（2）的有②④，滿足（3）的有①②或③④，所以一共有4種選法.

【點評】當被研究的問題有可能出現多種情況時，我們必須按可能出現的情況不重復不遺漏地進行分類討論.

二、與折疊相關的問題

圖1

【分析】根據點E 是AD的中點以及翻折的性質，我們有AE= DE=EG，可以證得△EDF和△EGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=GF.設FD=x，則可用x表示出FC、BF，在Rt△BCF中，利用勾股定理建立方程即可得其解.

解：∵E是AD的中點，

∴AE=DE，

∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，

∴AE=EG，AB=BG，

∴ED=EG，

∵在矩形ABCD中，

∴∠A=∠D=90°，

∴∠EGF=90°，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，

∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），

∴DF=FG，

設DF=x，則BF=6+x，CF=6-x，

解得x=4.

∴DF=4.

【點評】由折疊對應得到對應角相等，對應線段相等，由此得到兩個三角形全等，再運用勾股定理建立方程，是解決這類問題常用的方法.

三、與最值相關的問題

例3如圖2，在正方形ABCD中，點E 在BC上，BE=3，CE=2，點P在BD上，求PE+ PC的最小值.

圖2

圖3

【分析】由于PE、PC的值均不能直接求出，要求PE+PC的最小值，可考慮通過作輔助線將PE或PC轉化為與其相等的線段，利用相關定理找出PE+PC的最小值.

解：如圖3，連接AE、AP，

∵點C關于BD的對稱點為點A，

∴PE+PC=PE+AP，

根據兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值，

∵正方形ABCD的邊長為5，BE=3，

【點評】正方形是軸對稱圖形，借助其軸對稱性可以巧妙地解決一些與正方形有關的問題.當然這個題目的背景還可以換為菱形.解決這類問題的一般思路是利用對稱性，借助轉化，建立“兩點之間，線段最短”的幾何模型.

四、與動點相關的問題

例4如圖4，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=12 cm，點P在AD邊上以每秒1 cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒4 cm的速度從點C出發，在CB間往返運動，兩點同時出發，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止）運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時PQ∥AB.

圖4

【分析】點P從點A到達點D需12秒，所以點Q需在B、C間往返兩次，而在每次的運動過程中都有一次PQ∥AB，根據AD∥BC，PQ∥AB，可知四邊形APQB是平行四邊形，則PA=BQ，列方程求解即可得到所需時間.

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

若PQ∥AB，

則四邊形APQB是平行四邊形，

∴AP=BQ，

①當0≤t＜3時，

設過了t秒，PQ∥AB，則PA=t，BQ=12-4t，

∴t=12-4t，

解得：t=2.4（s），

②當3≤t＜6時，

PA=t，BQ=4t-12，

∴t=4t-12，

解得：t=4（s），

③當6≤t＜9時

PA=t，BQ=36-4t，

∴t=36-4t，

解得：t=7.2（s），

④當9≤t≤12時，

PA=t，BQ=4t-36，

∴t=4t-36，

解得：t=12（s）.

∴當t=2.4、4、7.2、12秒時PQ∥AB.

【點評】在分析過程中，要特別關注圖形的特性，尋找合理的代數關系式，確定運動變化過程中的數量關系和圖形的位置關系，這樣就能找到解決問題的途徑.