中心對稱　貫穿始終

李建華

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中心對稱貫穿始終

李建華

本章以中心對稱為主線，從探究圖形旋轉的性質，過渡到中心對稱與中心對稱圖形，進而到中心對稱圖案的設計；接著研究屬于中心對稱的四邊形——平行四邊形及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的概念、性質及判定；最后從中心對稱的角度研究了三角形中位線的性質.從生活到實踐，從實踐到探索，從探索到發現，從發現到歸納，再把歸納得到的結論用來解決問題.

一、圖形旋轉的性質

例1如圖1，在正方形網格中有△ABC，△ABC繞O點按逆時針方向旋轉90°后的圖案應該是（）.

圖1

【解析】根據圖形旋轉的性質：“一個圖形和它經過旋轉得到的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.”分別找到點A、B、C繞O點按逆時針方向旋轉90°后的對應點，從而選擇A.

二、中心對稱與中心對稱圖形

例2（1）（2015·甘孜）如圖2，下列圖形中，是中心對稱圖形的為（）.

圖2

（2）如圖3，在平面直角坐標系中，若△ABC與△A1B1C1關于E點成中心對稱，則對稱中心E點的坐標是（）.

圖3

A.（3，-1）B.（0，0）

C.（2，-1）D.（-1，3）

【解析】（1）本題考查了中心對稱圖形的概念，要注意與軸對稱圖形概念的區別.識別軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形沿對稱軸折疊后兩部分可重合；識別中心對稱圖形是要尋找對稱中心，繞對稱中心旋轉180°后與原圖形重合.答案：B.

（2）本題考查了中心對稱的性質：對稱點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分.確定E點位置是關鍵.連接對稱點AA1、CC1，因為對稱點的連線經過對稱中心，則AA1與CC1的交點就是對稱中心E點，在坐標系內確定出其坐標.答案：（3，-1）.

三、平行四邊形與矩形、菱形、正方形

例3（1）（2015·福建）如圖4，在?ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，下列結論錯誤的是（）.

A. AB∥CD B. AB=CD

C. AC=BD D. OA=OC

圖4

圖5

圖6

（2）（2015·益陽）如圖5，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以下說法錯誤的是（）.

A.∠ABC=90°B. AC=BD

C. OA=OB D. OA=AD

（3）如圖6，在菱形ABCD中，下列結論錯誤的是（）.

A. BO=DO

B.∠DAC=∠BAC

C. AC⊥BD

D. AO=DO

（4）在數學活動課上，老師和同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是一個學習小組擬定的方案，其中正確的是（）.

A.測量對角線是否相互平分

B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量對角線是否相等

D.測量其中三個角是否都為直角

【解析】本題考查了平行四邊形與矩形、菱形的性質及判定，理解并熟記性質及判定定理是解題的關鍵.平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分；矩形的四個角都是直角、對角線相等；菱形的四條邊相等、對角線互相垂直.一組對邊平行且相等或兩組對邊分別相等或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；有三個角是直角的四邊形或對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.同時，注意任何一個圖形的定義既是判定定理，也是性質.故答案為：（1）C；（2）D；（3）D；（4）D.

例4（2015·南京）如圖7，AB∥CD，點E，F分別在AB，CD上，連接EF，∠AEF、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H.

（1）求證：四邊形EGFH是矩形；

（2）小明在完成（1）的證明后繼續進行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB，CD于點M，N，過H作PQ∥EF，分別交AB，CD于點P，Q，得到四邊形MNQP，此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列框中補全他的證明思路.

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易證四邊形MNQP是平行四邊形，要證平行四邊形MNQP是菱形，只要證MN=NQ.由已知條件_____________________，MN∥EF，故只要證GM=FQ，即證△MGE≌△QFH.易證_____________________，________________________，故只要證∠MGE=∠QFH.易證∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，__________________，即可得證.

圖7

【解析】（1）利用角平分線的定義結合平行線的性質得出∠FEH+∠EFH=90°，進而得出∠GEH=90°，進而有四邊形EGFH是矩形；

（2）利用菱形的判定方法，要證?MNQP是菱形，只需證MN=NQ，易證∠MGE= ∠QFH，即可得出.

例5（2015·荊州）如圖8，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F.

（1）證明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度數；

（3）如圖9，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數量關系，并說明理由.

圖8

圖9

【解析】正方形具有矩形和菱形的一切性質.

（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP = ∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF= ∠EDF=90°得到結論；

（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結論.

四、三角形的中位線

例6如圖10，△ABC的中線BD、CE交于點O，連接OA，點G、F分別為OC、OB的中點，BC=8，AO=6，則四邊形DEFG的周長為（）.

圖10

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校）