基于改進的逐點交叉驗證的RBF形態參數優化方法及其空間插值實驗

李 佳,段 平*,呂 海 洋,張 思 陽,盛 業 華

(1.云南師范大學旅游與地理科學學院，云南 昆明 650050;2.虛擬地理環境教育部重點實驗室(南京師范大學)，江蘇 南京 210023;3.江蘇省地理環境演化國家重點實驗室培育建設點，江蘇 南京 210023)

基于改進的逐點交叉驗證的RBF形態參數優化方法及其空間插值實驗

李 佳1,2,3,段 平1,2,3*,呂 海 洋2,3,張 思 陽2,3,盛 業 華2,3

(1.云南師范大學旅游與地理科學學院，云南 昆明 650050;2.虛擬地理環境教育部重點實驗室(南京師范大學)，江蘇 南京 210023;3.江蘇省地理環境演化國家重點實驗室培育建設點，江蘇 南京 210023)

徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)是一種確定性的多維空間插值模型，可以有效逼近任意維度的空間數據。RBF插值模型中，基函數形態參數直接影響插值精度。為了快速求解最佳形態參數，獲取準確的插值結果，該文采用改進的逐點交叉驗證(Improved Leave One Out Cross Validation，ILOOCV)方法求取最優形態參數，首先從形態參數取值區間內選定初始形態參數α，然后從n個已知點中順序選出一個點，使用剩下的n-1個已知點構建RBF插值模型，計算被取出點處真實值與插值結果的誤差，循環n次，累計交叉驗證誤差，再依次從形態參數取值區間選取下一個值，重復操作，建立形態參數α與累計交叉驗證誤差之間的函數映射關系，最后通過最小化交叉驗證誤差來獲取最佳形態參數。以我國東北地區氣象觀測數據進行實驗，對ILOOCV方法進行驗證，結果表明ILOOCV方法選取最佳形態參數使其插值結果比較精確，是一種可行的RBF形態參數優化方法。

空間插值；徑向基函數；形態參數；逐點交叉驗證

0 引言

空間插值是GIS進行地理分析的重要方法[1]。Franke從插值效果、參數靈敏度、執行時間、存儲要求及編程實現的難易程度等方面對多種插值方法進行比較，得出RBF插值是一種較優的空間插值方法[2]。使用RBF插值方法進行空間插值需要解決兩個問題：基函數的選取和形態參數的優化。每種基函數的特性各有不同，但只要采樣點足夠密，都可以準確地逼近幾乎所有函數[3]，故其插值結果差異不大。在基函數確定后，形態參數的選取直接影響到插值結果的精度[4]，只有合理選取形態參數才能準確地重建地理空間場。

以中國東北地區氣溫觀測數據為實驗對象，結合氣溫數據自身的特性，在使用RBF插值模型時采用ILOOCV方法求解最佳形態參數，并將插值結果與通過經驗最佳形態參數的插值結果進行對比分析，最終驗證ILOOCV形態參數優化方法及其空間插值的可靠性和有效性。

1 RBF最優形態參數的求解

1.1RBF插值模型

RBF插值方法是一種不需對數據做任何假設，直接利用已知數據本身來準確逼近任意維度空間曲面，并對任意位置估計其函數值的理論和方法。設多維空間n個已知點，使用向量xi表示第i個已知點，則RBF插值模型可以表示為：

(1)

1.2 基于LOOCV的RBF最優形態參數求解方法

采用任何一種基函數進行空間插值，都會隨著α增大(到達某個臨界值之前)，插值模型越來越光滑，若超過這個臨界值，繼續增加α，則插值模型連續性變差，誤差隨之變大，將該α的臨界值稱為最佳形態參數。為了獲取精確的插值模型，需要采用一個合理的計算方法得到最佳形態參數，常見的計算方法是LOOCV。首先將已知點集劃分為插值點集和驗證點集，使用插值點集對該研究區域進行RBF插值，并計算驗證點集處的插值結果，與驗證點集處的真實值進行對比，通過使插值結果與真實值間的誤差最小化來獲取最佳的形態參數。具體步驟是：

步驟1：設定形態參數選取區間[p，q](其中0≤p≤q)，以s(s<1且隨區間大小不斷調整)為步長，從小到大依次取值αi，帶入RBF插值模型；

(2)

步驟4：重復步驟2、3，循環n次，直至所有觀測點參與到交叉驗證過程，記錄其累計誤差：

(3)

步驟5：根據形態參數取值步長s，依次取值重復步驟1、2、3，直至區間上限，構建形態參數與累計誤差映射關系LOOCV(αi)；

步驟6：求解LOOCV(αi)累計誤差的最小值，其對應的形態參數αi作為最佳形態參數。

在LOOCV求解過程中徑向基函數模型求解時間復雜度為O(n3)，進行n次交叉驗證時間復雜度為O(n4)。使用該方法計算最佳形態參數，面臨運算量大、效率低問題，需對其進行改進。

1.3 基于ILOOCV的RBF最優形態參數求解方法

數學上可證明，在LOOCV求解和RBF插值模型求解過程中，存在如下數學關系[8]：

(4)

(5)

則1.2節中步驟2、3、4可以簡化為：步驟 2：使用全部已知點和形態參數αi，計算插值矩陣Φ和線性組合系數c，根據式(5)計算交叉驗證誤差。本文基于式(5)求解最佳形態參數和RBF插值模型。

2 實驗分析

2.1 空間插值實驗數據源與預處理

為了驗證ILOOCV方法在地理空間現象插值中的可靠性，實驗數據來源于中國氣象科學數據共享服務網(http://cdc.cma.gov.cn/home.do)，選取中國東北地區123個觀測站點的地面氣候標準值年值數據集(1981-2010年)累年年平均氣溫作為插值對象。如圖1所示，觀測站點呈非均勻散亂分布；在遼寧省、吉林省部分區域，觀測站點分布較為密集，而黑龍江省和內蒙古部分區域分布較為稀疏；氣溫值從南向北、由東向西逐漸降低，整體變化比較平穩。

圖1 原始數據Fig.1 Original data

插值前對數據點進行預處理，采用ASTER網站(http://asterweb.jbl.nasa.gov/gdem.asp)提供的DEM(30 m*30 m)對不同高度的插值結果進行氣溫修正處理，其中氣溫直減率為0.6°C/100 m[11,12]，插值及修正過程如下：

步驟1：根據DEM高程信息，將原始數據中的氣溫值根據式(6)修正到海平面高度的真實值；

t1=t0+r×h

(6)

步驟2：對修正后的氣溫數據采用ILOOCV方法求解最佳形態參數，再進行RBF插值重建氣溫場；

步驟3：使用DEM高程信息根據式(7)將插值得到的氣溫場進行再次修正，使得插值結果能夠準確地表達地表的真實氣溫。

t2=t1-r×h

(7)

其中，t0為真實氣溫數據，t1為修正到海平面的氣溫數據，t2為再次修正后的真實氣溫數據，r為氣溫直減率(0.6°C/100m)，h為海拔。

2.2 幾種常見的插值方法精度分析

對123個觀測站點數據進行高程修正后分別采用反距離權重(InverseDistanceWeight，IDW)、普通克里金(OrdinaryKriging，OK)、Frank建議的經驗形態參數RBF插值(Frank-RBF)、基于ILOOCV的RBF(ILOOCV-RBF)4種空間插值方法對東北地區氣溫數據進行逐點交叉驗證，其中每種插值方法參考點設置為最小點數為10個，最大點數為15個，普通克里金的變異函數擬合模型為球狀模型，RBF基函數采用Multiquadric。插值精度分析采用最大誤差(MaxError)、最小誤差(MinError)、平均誤差(MeanError，ME)、均方根誤差(RootMeanSquareError，RMSE)，各插值方法的精度如表1所示。

表1 插值誤差Table 1 Interpolation error

表1中IDW插值方法除Min Error優于其他3種空間插值方法外，另外3個誤差指標Max Error、ME和RMSE都最大，原因可能是IDW插值估算的屬性值只能在參考點屬性值域中，IDW插值方法性質決定了估算值不能大于參考點屬性值的最大值和小于參考點屬性值的最小值。OK插值中Max Error、Min Error誤差與ILOOCV-RBF相差不大，但是ME、RMSE相差較大，而ME、RMSE最能反映出插值方法的精度。因為Frank-RBF和ILOOCV-RBF插值原理一樣，所以二者插值誤差較為近似，但是Frank-RBF的誤差略大，原因是其采用的是經驗形態參數。總體上ILOOCV-RBF插值誤差均小于其他3種插值誤差。

2.3 基于ILOOCV的RBF氣溫場重建與分析

使用ILOOCV-RBF方法求解該區域內RBF插值模型的最佳形態參數為α=0.2248，根據獲取的最佳形態參數，構建該區域RBF插值模型，對該區域氣溫場進行重建(圖2)，重建結果光滑連續，局部細節特征表達完好。

圖2 插值結果Fig.2 Interpolation results

為了分析整個區域內氣溫場插值重建結果的誤差分布情況，以區域內各個觀測站點的交叉驗證誤差為研究對象，對區域誤差分布情況進行RBF插值，采用ILOOCV方法獲取RBF插值模型的最佳形態參數，求解該區域內的RBF誤差插值模型，對誤差進行分級，結果如圖3所示。

圖3 誤差分布Fig.3 Error distribution

該區域內的誤差分布具有以下特征：1)區域內氣溫場插值重建結果整體誤差較小，局部存在較大誤差；2)誤差主要集中在西北部區域，而中部區域誤差較小，誤差分布與區域地形變化有一定的相關性。

結合區域內的DEM數據(圖4)和觀測站點分布情況(圖1)以及觀測站點氣溫觀測值變化情況，進一步分析氣溫場插值重建誤差產生的原因：1)區域西北部海拔較高，對冷空氣形成一定阻擋，平均氣溫較低，為多年凍土地帶，因此，該區域內的氣溫值要低于其他區域，即氣溫值屬性在本區域與相鄰區域出現了較大的差異；2)區域西北部氣溫值與鄰近區域變化較大并且觀測站數量相對較少，不能夠很好地反映區域內的氣溫值變化情況，而區域中部氣溫值變化較為平緩且觀測站點較多。

圖4 區域DEMFig.4 DEM of the study area

3 結語

使用RBF模型進行地理空間插值時，形態參數的選取直接影響到插值結果的精度。本文基于ILOOCV方法，使用中國東北地區地面累年年平均氣溫數據進行實驗，獲取最佳形態參數進行RBF氣溫場插值重建，雖然存在部分插值誤差，但整體結果較為準確，可以有效地反映區域內的氣溫變化情況。

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RBF Shape Parameter Optimization Approach Based on ILOOCV and Its Spatial Interpolation Experiments

LI Jia1,2,3,DUAN Ping1,2,3,LYU Hai-yang2,3,ZHANG Si-yang2,3,SHENG Ye-hua2,3

(1.SchoolofTourismandGeographicalSciencesofYunnanNormalUniversity,Kunming650050;2.KeyLaboratoryofVirtualGeographicEnvironment(NanjingNormalUniversity),MinistryofEducation,Nanjing210023;3.StateKeyLaboratoryCultivationBaseofGeographicalEnvironmentEvolution(JiangsuProvince),Nanjing210023,China)

Radial Basis Function (RBF) can effectively approximate arbitrary dimension spatial data,which is a deterministic multivariate spatial interpolation method.In RBF interpolation model,the shape parameter in the basis function has a directimpact on the accuracy of the interpolation.In order to get optimal shape parameter which leads to smallest interpolation error and obtains the most accurate interpolated results,the Improved Leave One Out Cross Validation (ILOOCV) approach is applied in this paper.First,the initial shape parameter α is selected from the shape parameter interval which are divided by the step const value,then sequentially choose one point from thenknown points as the verify point and use then-1 remaining known points to calculate the RBF interpolation model.After that,the interpolated value of the point which are taken away from thenknown points by the RBF interpolation model is calculated and compared with the true value of the known point to get the interpolation error,then these operations are repeated forntimes until all the points are left out to be chosen as the verify point and the cross validation interpolation error is accumulated.After all these steps have been done,another shape parameter from the shape parameter interval is taken according to the step const value and the leave one out cross validation is repeated until all the shape parameters have been used to calculate the accumulated cross validation interpolation error,then the mapping relationship between the selected shape parameter and the accumulated cross validation interpolation error is established.Finally,to minimize the accumulated cross validation interpolation error in each leave one out cross validation process to get the smallest error and take the corresponding α as the optimal shape parameter.The meteorological observation data in Northeast China are taken as examples to verify the feasibility and effectiveness of this approach.Results show that,the optimal shape parameter selected by ILOOCV turns out to be effective and the spatial interpolated results are quite accurate.

spatial interpolation;radial basis function;shape parameter;leave one out cross validation

2015-10-03；

2016-01-16

國家自然科學基金項目(41271383)；云南師范大學博士基金項目(01300205020503113)

李佳(1984-)，女，博士，講師,主要從事空間分析、近景攝影測量等研究。*通訊作者E-mail:duanpingshai@163.com

10.3969/j.issn.1672-0504.2016.03.008

P208

A

1672-0504(2016)03-0039-04