一類分數階微分方程多點共振邊值問題解的存在性

袁幼成，周　輝，周宗福

(1.湖北麻城二中，湖北 麻城 438300；2.合肥師范學院 數學與統計學院， 安徽 合肥 230601；3.安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥 230039)

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一類分數階微分方程多點共振邊值問題解的存在性

袁幼成1，周輝2，周宗福3

(1.湖北麻城二中，湖北 麻城 438300；2.合肥師范學院 數學與統計學院， 安徽 合肥 230601；3.安徽大學 數學科學學院，安徽 合肥 230039)

[摘要]本文利用重合度理論，研究了一類階數為α(n-1<α

[關鍵詞]共振邊值問題；分數階積分；分數階導數

1引言

近幾十年來，分數階微積分與分數階微分方程作為分析數學的一個重要分支獲得了長足的發展，并且在流體力學、熱力學、黏彈性理論、化學、電化學、工程學、生命科學、擴散過程等領域得到了廣泛的應用。分數階微分方程邊值問題，尤其是共振邊值問題，受到廣泛關注，見文[1]-[8]，然而，已有的研究幾乎都是低階(1-2階)情形，任對意階(α階，n-1<α

(1.1)

(1.2)

其中α>0,n-1<α≤n,n≥2,n為正整數，f為連續函數。

2預備知識

(1)?(x,λ)∈[domLKerL)∩?Ω]×[0,1],Lx≠λNx；

(2)?x∈KerL∩?Ω,Nx?ImL；

定義2.2( [11])設α>0,n=[α]+1,y(t)∈L1(0,T),T>0,稱

其中domL={x∈X|x(0)=x(1),x′(0)=x(2)(0)=…x(n-1)=0}

定義算子N:X→Y,Nx(t)=f(t,x(t),x′(t),…,x(n-1)(t)),x∈X,t∈[0,1],則微分方程邊值問題(1.1)，(1.2)轉化為算子方程Lx=Nx。

3主要結果

定理3.1設f:[0,1]×Rn→R是連續的，假設

(H1)存在非負函數q0,q1,…,qn∈C[0,1]且Γ(α+2-n)-p1-p2-…-pn>0

?(u1,u2,…,un)∈Rn,其中pi=‖qi‖∞,i=0,1,…,n

?(u2,u3,…,un)∈Rn-1或u1f(t,u1,u2,…,un)<0,?t∈[0,1]

?(u2,u3,…,un)∈Rn-1

則FBVP(1.1),(1.2)在至少X中至少有一解。

引理3.1若L由(2.1)所定義，則

(3.1)

(3.2)

結合邊界條件(1.2)，易知(3.1)成立。

?y∈Y,?x∈X,使得y=Lx,由引理3.3

……

由x(n-1)(0)=0,x(n-2)(0)=0,…,x′(0)=0依次得cn-1=0,cn-2=0,…,c1=0

引理3.2若L由(2.1)所定義，則L是指標為零的Fredholm算子，且投影算子

P:X→X,Q:Y→Y可定義為Px(t)=x(0),?t∈[0,1]

證明顯然，ImP=KerL,P2x=Px,由x=(x-Px)+Px得X=KerP+ImP即

X=KerP+KerL,設y∈ImP∩KerP,則?x∈X,使y=Px,Py=θ,故

θ=Py=P2x=Px=y。因此X=KerL⊕KerP。

Y=ImQ⊕KerQ即Y=ImQ⊕ImL。故dimKerL=dimKerQ=codimImL=1

L是指標為零的Fredholm算子。

由P,KP的定義可證L|domL∩KerP的逆為KP。事實上，?y∈ImL

(3.3)

另一方面，?x∈domL∩KerP,有x(0)=x′(0)=…=x(n-1)(0)=0,由引理2.3，

x(0)=x′(0)=…=x(n-1)(0)=0得

KPLx=x

(3.4)

由(3.3)，(3.4)知KP=(L|domL∩KerP)-1。證畢。

一般的，

(A1)

(A2)

(A3)

一般地，由x(k-1)(0)=0推出

(Ak)

由Lx=λNx及x∈domL得

……

由Γ(α+2-n)-p1-p2-…-pn>0得

‖x(n-1)‖∞≤

‖x‖∞≤B+‖x′‖∞≤B+M1,故‖x‖X≤B+M1。從而Ω1有界。證畢。

證明?x∈Ω2,有x(t)=c,c∈R,Nx∈ImL,故

故Ω1有界。證畢。

引理3.6設(H2)的前半部分成立，則

證明?x∈Ω3,有x(t)=c,c∈R且

(3.5)

定理3.1的證明：設Ω={x∈X|‖x‖X

(1)Lx≠λNx,?(x,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)

(2)Nx?ImL,?x∈KerL∩?Ω

由引理3.6(或注3.1)，?x∈KerL∩?Ω,H(x,λ)≠0。于是

4例子

考慮FBVP

[參考文獻]

[1]C.Xue,W.Ge.The existence of solutions for multi-point boundary value problem at resonance,Acta Math.Sin.48(2005)281-290.

[2]W.Feng,J.R.L.Webb,Solvability of m-point boundary value problem with nonlinear growth,J.Math.Anal.Appl.212(1997)467-480.

[3]B.Liu,Solvability of muiti-point boundary value problemat resonance(Ⅱ),Appl.Math.Comput.136(2003)353-377.

[4]C.P.Gupta,Sovability of multi-point boundary value problem at resonance,Results Math.28(1995)270-276.

[5]B.Prezeradzki,R.Stanczy,Solvability of a multi-point boundary value problem at resonance,J.Math.Anal.Appl.264(2001)253-261.

[6]R.Ma,Existence results of a m-point boundary value problem at resonance,J.Math.Anal.Appl.294(2004)147-157.

[7]R.K.Nagle,K.L.Pothoven,On athird-order nonlinear boundary value problem at resonance,J.Math. Anal.Appl.195(1995)148-159.

[8]G.L.Karakostas,P.Ch.Tsamatos,On a nonlocal boundary value problem at resonance,J.Math. Anal.Appl.259(2001)209-218.

[9]Y.Zhang,Z.Bai,Existence of solutions for nonlinear fractional three-point boundary value problems at resonance ,J Appl Math Comput (2011)36:417-440.

[10]J.Mawhin,NSFCBMS Regional Conference Series in Mathematicns,America Mathematicial Society,Providence,RI,1979.

[11]A.A.Kilbas,H.M.Srivastava,J.J.Trujillo,Theory and Applications of Fractional Differendial Equations,Elsevier,2006.

Existence of Solutions for Boundary Value Problems at Resonance of Fractional Differential Equations

YUAN Youcheng1, ZHOU Hui2, ZHOU Zongfu1

(1.SchoolofMathematicsScience,AnhuiUniversity,Hefei230039,China;2.SchoolofMathematicsandStatistics,HefeiNormalUniversity,Hefei230601,China)

Abstract：By using the coincidence degree theory, the paper makes a study of the existence of solutions for boundary value problems at resonance of fractional differential equations in which the derivative is Caputo derivative with order α(n-1<α

Key words：boundary value problems at resonance; fractional integral; fractional derivative

[收稿日期]2016-01-20

[基金項目]國家自然科學基金(11071001)；安徽省高校重點項目(KJ2009A005Z)；安徽大學創新團隊項目(KJTD002B)；合肥師范學院校級青年基金項目資助(QN2015019)

[第一作者簡介]袁幼成(1973-)，男，湖北麻城人，碩士，中教一級，研究方向：分數階微分方程。

[中圖分類號]O175.8

[文獻標識碼]A

[文章編號]1674-2273(2016)03-0005-05