以初等變換為主線的《線性代數》教學體系設計

摘 要：為了適當降低理論推導，注重數學思想、數學方法和實踐教學，根據線性代數課程教學內容和教學要求設計了以初等變換為主線的教學體系：從解線性方程組引入該課程，從解方程組的同解變換類推出矩陣的初等變換。在此基礎上得到矩陣的行列式的相關性質及行列式理論，還利用初等變換討論矩陣的秩和逆、討論向量組的線性關系、解決二次型和線性空間中的問題。并補充了實驗實踐教學內容。

關鍵詞：初等變換 主線 教學體系

中圖分類號：G642.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）04（b）-0122-02

Abstract：In order to decrease the theoretical derivation and pay attention to mathematical thought，mathematical methods and practice teaching，this paper designs the teaching system with the concept of elementary transformation according to the linear algebra course teaching contents and teaching requirements：it starts the course from solving linear equations，and launches elementary transformation of matrix from it.On this basis， it gets the related properties of determinant of matrix and determinant theory；with primary transformation it also discusses inverse and rank of matrix，linear relationship of vector group and some problems of quadratic form and linear space. The experiment practice teaching content is added at last.

Key Words：Elementary transformation；Main line；Teaching system

《線性代數》是計算機，自動化，通信電信，信息安全，化學，土木，財經等所有理工和部分文科專業必修的公共基礎課程。其重要性一方面體現在該課程的實踐應用，如：著名的投入—產出模型；另一方面，它也是學習專業課程如軟件編程、數字通信原理、電路分析等的前提和基礎。但從教學現狀來看存在以下問題：只注重專業課程而忽略了基礎課程的教學；由于急功近利思想只注重考試過關；只講授如何考試和做題而忽視了數學思想和數學方法的傳授；由于教師或學生各方面的原因導致該課程的教學變成一種過程和形式，沒有產生良好的教學效果等。所以學生對該課程普遍感覺理論性太強，偏難，學無所用等，從而影響到了學生專業課程的學習甚至個人發展。

結合學生和教師的教學現狀，為了降低學習難度但不減少教學內容，為了讓學生知其然并且知其所以然，為了降低理論推導增加實踐應用，為了鍛煉學生的思維和能力，筆者根據多年的教學經驗，探索出不拘泥于教材[1]的以初等變換為主線的線性代數教學體系。

1 從解線性方程組引入

解線性方程組的消元法在中學是教學重點，學生對該方法不陌生，從解方程組引入課程學生更容易過度和接納，好的開始是成功的一半。另外，從線性代數的教學內容、意義分析可知解方程組是根基，尤其是同解變換和消元法的過程，因為它們是矩陣的初等變換，矩陣化階梯型矩陣、行列式化三角行列式，判別方程組解的情況等重要知識和方法的跟源。現在有一種教學觀念是知識模塊化，這種觀點也是與慕課理念相符的，但對于線性代數課程來說，初等變換是貫穿整個課程的主線，所以模塊化割裂了行列式、矩陣、向量、二次型等知識、方法之間的本質聯系，使教學浮于表面。另外，分割性的模塊化也約束了該課程數學思想和數學方法的立體呈現。

2 建立線性方程組的同解變換和矩陣的初等變換之間的對應關系

線性方程組與未知量的形式無關，完全由方程組的系數和常數決定，如線性方程組一一對應到數表，這是矩陣本質的體現即數表。解線性方程組涉及三種同解變換：（1）交換兩個方程的位置；（2）某個方程的兩邊同乘某個非零的數；（3）某個方程的倍數加到另一個方程。對應的給出矩陣的三種初等行變換：（1）交換矩陣的兩行；（2）矩陣的某一行乘非零的數；（3）矩陣某一行的倍數加到另一行。根據同解變換和初等行變換的對應性不難建立它們之間的對應關系，從而解方程組的過程可以簡化的用矩陣的初等變換來表示。

因為行列式、向量、二次型中的主要方法都與化階梯型矩陣的過程有關，所以該章重點講授如何用初等變換化矩陣為階梯型。

為建立以初等變換為主線的線性代數理論體系，根據線性方程組的同解變換與矩陣的初等行變換的對應關系需要得到以下基礎結論：如果線性方程組有解，則矩陣經過初等行變換變為當且僅當同型方程組與同解；如果無解，矩陣經過初等行變換變為，則也無解。

3 介紹行列式的理論

行列式理論的重點是行列式的定義、性質、計算和應用。行列式的意義是解線性方程組，反過來這也決定了行列式的定義。行列式主要有三個基本性質：（1）交換行列式的兩行，行列式變號；（2）行列式某一行乘數等于整個行列式乘數；（3）行列式某一行的倍數加到另一行，行列式不變。顯然，這三個性質與矩陣的初等變換是有關的。同時根據第2章中化階梯型矩陣的方法可得對應的行列式化為三角行列式的計算方法。展開法則是根據行列式的性質推出的降階法。行列式的應用主要是Cramer法則，它可以利用行列式的性質和展開法則來證明；為了降低難度有些教材把該法則移到矩陣部分，但這樣處理破壞了行列式理論的整體性；該法則可以參考文獻[3]中獨特的比較簡單的證明方法。

4 矩陣的初等變換應用于討論矩陣的秩

矩陣的秩是判別線性方程組解的情況的依據，也是討論矩陣可逆及矩陣應用的基本概念。這一章主要介紹秩的概念和求法，通過階子式的實例可以歸納出秩的概念；對于秩的求法，根據第2章中的基礎結論和Cramer法則應用的結果，首先得出相對于教材定理體系更容易接受的結論：矩陣的初等變換不改變矩陣中階子式等于零或者不等于零的性質。從而有“矩陣的初等變換不改變矩陣的秩”。等同于教材中的“等價的矩陣有相同的秩”。然后通過階梯型矩陣的實例得出最大階子式的取法：取階梯型中的非零行，階梯列所得子式為對角元不等于零的上三角行列式，從而有“階梯型矩陣的秩等于階梯型矩陣中非零的行數”。

5 初等變換法應用于求逆矩陣

逆矩陣的思想來源于除法，但和除法完全不同，因為矩陣不一定可逆。這部分的重點是矩陣可逆的條件、逆的定義和逆矩陣的求法。用初等變換法求逆矩陣的要求領會“對矩陣作一次初等行（列）變換相當于該矩陣左（右）乘相應的初等矩陣”，比較抽象，因此，很多教材把該方法較復雜的推理定為選學內容，但該思想不僅能用于求逆矩陣，對推導過程稍作調整以后還可用于求解矩陣方程和，更進一步還能應用于二次型化標準型以及線性空間中的正交變換等重要內容，這些具體應用可以參考國內外的相關研究成果。如果熟悉了初等變換和初等矩陣的關系實例，該思想及相關的應用學生還是容易掌握的。

6 初等變換討論向量組的線性關系

該部分的概念有具體的幾何意義，如：線性相關、線性無關、等價等。利用第2章中的基礎結論分析可得兩個重要的但比教材[1]中定理體系簡單的基本性質，“初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關性”和更進一步的“初等行變換不改變矩陣列向量組之間的線性表示關系”。由這兩個性質分別可以求向量組的最大線性無關組和把其余向量用該最大無關組線性表示，當然結合矩陣的秩還可以判別向量組的等價和線性表示關系等。

7 初等變換應用于二次型及線性空間

二次型的主要內容是化為標準型及其正定性的討論，化標準型有初等的配方法以及矩陣的合同變換法，合同變換是對矩陣作一次初等行變換，再作一次相應的初等列變換，通過合同變換把二次型的對稱矩陣化為對角矩陣即得原二次型的標準型，標準型以對角矩陣的對角元為平方項的系數。對稱矩陣的相似對角化和正交變換也可以結合初等變換類似地討論。在線性空間中，因為基就是向量空間的最大線性無關組，所以利用矩陣的初等變換可以求得線性空間的一組基。根據第5章解的方法可以用初等變換求兩組基之間的過度矩陣和求一個向量在某組基下的坐標。

8 初等變換的實驗實踐教學

實驗實踐是重要的教學內容，一方面結合了計算機和其它專業知識的應用，加深了理論知識的學習和理解；另一方面也體現了該課程的應用價值，增強了學生的學習興趣和能力素養。線性代數課程可以設置6學時以上的實驗操作課，主要學習一種軟件如Matlab的操作，通過簡單的命令實現該課程中所有的計算如計算行列式，求矩陣的逆，求向量組的最大線性無關組，解方程組等。條件允許的話還可以增加課時開設旨在培養學生勇于探索的創新精神、善于解決問題的實踐能力、培養拔尖創新人才而進行的實踐教學活動，研究社會實際問題，如：飼料配比問題，要求利用現有的原料如何配備出符合要求的飼料，并使得效益最大。這樣既提升了學生學習興趣，也促進了理論知識的理解和掌握，還提高了學生的實踐能力、動手能力和創新意識。

9 結語

以矩陣的初等變換為主線的教學體系包括了理工科線性代數課程教學基本要求的知識和方法，該體系利用初等變換把該課程串成一個整體：從初等變換與線性方程組的同解變換一一對應的介紹，到第2章的基礎結論及其在后面章節循序漸進的應用，系統而且全面，環環相扣。按照該體系授課降低了課程的難度，明確了課程的重、難點，傳授了數學思想和方法，注重了教學實踐，讓學生體會到了數學知識的應用性，兼顧了學生的知識、能力和素養，整個過程凸顯出數學邏輯嚴密的美感。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.工程數學-線性代數[M].6版.北京：高等教育出版社，2009.

[2] Kenneth Hoffmna，Ray Kunze.Linear Algebra（Second edition）[M].Englewood Cliffs，New Jersey，1971.

[3] 謝樂平，李明燕，韓汝月，等.Cramer法則的證明方法[J].懷化學院學報，2014，33（5）：84-86.