淺談解析幾何的雙向功能

李建杰 王楠

【摘要】 本文試圖從數形結合的角度，借助常見的曲線方程、幾何量和幾何關系的代數表示，結合有關實例，就運用解析幾何方法解決代數問題進行了探討，強調強化利用幾何方法審視代數問題這一功能意識的重要性，提出辨別代數問題中蘊涵的幾何意義是利用幾何方法解決代數問題的關鍵，并結合具體示例提出了運用解析幾何方法解決代數問題的具體途徑和方法，為實現解題過程的直接、簡捷，避免繁復的代數運算提供了思路.

【關鍵詞】 解析幾何；雙向功能

杰出地哲學家、數學家笛卡爾，從方法論的高度把代數和幾何通過坐標系這個橋梁結合起來，將曲線用方程表示，運用代數方法研究幾何問題，建立了解析幾何. 橋梁總是雙向通行的，作為哲學家的笛卡爾還考慮了將代數中的方程看作某個坐標系中的曲線，即反向應用幾何方法解決代數問題. 他發現了用拋物線和圓的交點求三次和四次代數方程的實根這一著名的笛卡爾方法. 可見解析幾何自從來到世間，就肩負著雙重的使命：從幾何到代數，也從代數到幾何，即它具有雙向功能.

解析幾何方法的實質是通過坐標系把方程（方程組）同幾何對象對應，使圖形的幾何關系在其方程的性質中表現出來. 把這個方法應用于幾何，將幾何問題轉化為代數問題來解決，“以數解形”，這是解析幾何的主要功能，這種方法是普遍有效的，已成為幾何研究中的一個基本方法. 把這個方法應用于代數，即通過解析幾何將代數問題轉化為幾何問題來解決，“以形解數”，這也是一個功能，不過，它不具有普遍性，其前提條件是這個代數問題具有幾何意義. 然而，在我們的解析幾何教學中，總把代數到幾何附屬于幾何到代數，對解析幾何的第二功能的重要作用重視不夠，本文就此問題談點看法.

一、建立將代數問題轉化為幾何問題的功能意識

有一些代數問題，只要我們用解析幾何的眼光去看，一眼就能看出其具有的明顯的幾何意義，將其轉化為幾何問題很容易解決. 但如果只知道使用代數方法，想不到使用解析幾何方法，其運算可能很繁瑣. 這就要求教師在教學過程中，通過例題，向學生闡明解析幾何除了具有解決幾何問題的功能外，還具有解決代數問題的功能，即具有雙向功能. 要培養學生具備運用解析幾何的眼光審視代數問題的意識，只有具備了這種意識，才會主動分析面臨的代數問題所具有的幾何意義.

二、用解析幾何的眼光審視代數問題所具有的幾何意義

由于一個代數問題能用幾何方法來解決的前提是它具有幾何意義，一看到某些代數表達式，通過“直接翻譯”馬上就能說出它的幾何意義. 即使所遇到的有些代數問題，其幾何意義雖然不能直接一眼看出，但我們可以靈活地運用解析幾何知識，通過變形、聯想、猜想，賦予其特定的幾何意義，從而將其轉化成幾何問題，簡化解法或直觀發現來解決. 本文將通過實例來說明如何把較復雜的代數、三角問題轉換成幾何問題，借助相關公式、性質、圖形的特征、位置關系等來探求思考途徑和解決方法.