雞兔同籠微課教學設計

許科測

【摘要】 本教學設計是雞兔同籠問題的微課視頻教學設計，設計的目的是讓學生通過觀摩和學習，了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學問題的趣味性. 教學過程中引導學生通過猜測、列表、假設等不同的方法解決“雞兔同籠”問題，并使學生理解掌握解決問題的不同思路和方法. 在解決問題的過程中提高學生的邏輯推理能力.

【關(guān)鍵詞】 雞兔同籠；微課；操作

教學背景

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中. 教材在本單元安排“雞兔同籠”問題，一方面可以培養(yǎng)學生的邏輯推理能力；另一方面使學生體會代數(shù)方法的一般性. 教材的編排有以下特點：1. 教材首先通過富有情趣的古代課堂，生動的呈現(xiàn)了在《孫子算經(jīng)》中記載的“雞兔同籠”問題，并通過小精靈的提問激發(fā)學生解答我國古代著名數(shù)學問題的興趣. 2. 注意體現(xiàn)解決“雞兔同籠”問題下的不同思路和方法. 3. 進一步體會到這類問題在日常生活中的應用.

教學中應注意滲透化簡為繁的思想. “雞兔同籠”的原題數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問題的學生進行探究，因此教材先編排了例題1，通過化簡為繁的思想，幫助學生先探索出解決該類問題的一般方法后，再解決《孫子算經(jīng)》中數(shù)據(jù)較大的原題.

教學中使學生理解解答此類題的方法. 解決“雞兔同籠”問題時，教材展示了學生逐步解決問題的過程，即猜測、列表、假設. 其中假設是解決該類問題的一般方法. “假設法”有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.

教學目標：

1. 了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學問題的趣味性.

2. 嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題，并使學生理解掌握解決問題的不同思路和方法.

3. 在解決問題的過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.

教學流程及設計理念：

一、創(chuàng)設情境，提出問題

我國古代流行著很多有趣的數(shù)學問題，大約一千五百年前，我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學趣題“雞兔同籠”問題. 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這道題的意思是同一個籠子中有若干只雞和兔. 從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳. 雞和兔各有多少只？這就是著名的雞兔同籠問題. 雞兔同籠問題怎么解答呢？

設計意圖：“雞兔同籠”問題是我國古代著名的數(shù)學問題，主題圖借助古代課堂的情境對《孫子算法》中記載的“雞兔同籠”原題進行了介紹，并通過呈現(xiàn)課堂上學生冥思苦想的畫面激發(fā)學生解決該類問題的興趣.

二、猜測激趣，化繁為簡

師：我們能猜一猜有幾只雞，幾只兔嗎？

師：“是不是感覺很難猜，又猜不準呢？”

生1：“數(shù)大了不好猜，而且驗證是不是一共有94只腳，比較麻煩. ”

師：“我們應該怎么辦？”我們先從一個簡單的問題入手. 設計意圖：借助這樣的問題自然過渡到例1. 這樣處理，可使學生充分體會到從簡單問題入手的必要性，經(jīng)歷先用簡單問題尋求解決策略后再將其應用解決比較復雜的問題的過程，從而使學生初步感受化繁為簡的思想.

三、嘗試驗證，枚舉列表

例1.籠子里有若干只雞和兔. 從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳. 雞和兔各有幾只？

要想很好的解決這個問題，首先我們要弄清題意. 從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳. 分別表示什么意思呢？一共有8只動物. 8只動物的腳一共有26只.

還隱藏著一個重要的數(shù)學信息. 你知道嗎？對，雞有2只腳，兔有4只腳.

我們可以先猜測一下有幾只雞、幾只兔. 再算一算一共有多少只腳. 然后看一看猜測的對不對.

設計意圖：首先呈現(xiàn)學生最“樸素”的想法——猜測. 分別猜測雞、兔各有多少只，然后驗證腳的只數(shù)是否能對應題目的條件.

生1：我猜有3只兔、5只雞. 4 × 3 + 5 × 2 = 22（只）不對！

生2：我猜有4只兔、4只雞. 4 × 4 + 2 × 4 = 24（只）也不對！

這種猜測的方法不易正好碰對結(jié)果. 我們可以按順序列出表格，算一算雞和兔各是多少只時. 他們的腳是26只. 請看下面的表格. 這樣做.

如果雞有8只，兔沒有用0表示. 算出腳的只數(shù)是8 × 2 = 16（只），再算如果雞有7只，兔有1只. 算出腳的只數(shù)是7 × 2 + 4 = 18（只），按順序往下算如果雞有6只，兔有2只. 一共有6 × 2 + 2 × 4 = 20（只），依次算下去可以得出雞5只，兔3只. 腳有22只，雞4只，兔4只. 腳有24只，雞3只，兔5只. 腳有26只.

從下面的列表中我們得出雞有3只，兔有5只時. 它們的腳是3 × 2 + 5 × 4 = 26只. 所以可以得到答案，籠子中有3只雞，5只兔. 這樣的方法叫列表法.

設計意圖：接著呈現(xiàn)了列表法，不僅滲透了有序思考，而且是運用假設法解決問題的基礎(chǔ).

以上兩種方法體現(xiàn)了讓學生經(jīng)歷直覺猜測和有序思考的過程，可使學生對這一問題有較為深刻的理解和認識.

四、觀察思考，假設推理

我們可以繼續(xù)把這張表格填完. 觀察這張表格你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

從左往右看，每減少1只雞，同時增加1只兔，腳就會增加2只. 從右往左看，每增加1只雞，同時減少1只兔，腳就會減少2只. 表格的最左邊可以理解為籠子里都是雞. 表格的最右邊可以理解為籠子里都是兔. 根據(jù)這張表的規(guī)律，解決雞兔同籠問題還可以用假設法. 如果籠子里都是雞，那么就有8 × 2 = 16只腳，這樣籠子里還缺少26 - 16 = 10只腳.

每次我們把籠子里的雞減少1只，同時增加1只兔. 也就是每次拿一只雞換一只兔，頭數(shù)不變，但腳會增加4 - 2 = 2只. 那么我們需要換10 ÷ 2 = 5（次），也就是換入5只兔子，換出5只雞. 這時籠內(nèi)有5只兔子. 有8 - 5 = 3只雞.

你能列成綜合式嗎？（26 - 8 × 2） ÷ （4 - 2）

你能假設籠子里全是兔解決“雞兔同籠”問題嗎？

設計意圖：假設法是更具邏輯性和一般性的解法，是解決此類問題的算術(shù)解法中較為普遍的一種解法. 通過讓學生觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律自然的引出假設法. 假設-計算-推理-解答的過程. 例1就是通過假設籠子里的都是雞，然后通過計算實際與假設情況下總腳數(shù)之差，通過以雞換兔的方法進而推理得出雞、兔的只數(shù).

五、滲透文化、抬腿減半

你知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的嗎？

（1）假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳，剩下腳的總數(shù)還有26 ÷ 2 = 13只腳.

（2）這時，每只雞一只腳，每只兔子兩只腳. 剩下的腳再和頭一一對應后，雞頭和腳對應沒有多的，而每只兔腳比頭多1. 也就是籠子里只要有一只兔子，則腳的總數(shù)就比頭的總數(shù)多1.

（3）這時腳的總數(shù)與頭的總數(shù)之差13 - 8 = 5只，就是兔子的只數(shù).

雞的只數(shù)8 - 5 = 3只.

古人的算法可以用下圖表示：

設計意圖：滲透古代數(shù)學思想，適時的進行思想教育，創(chuàng)設課題數(shù)學文化氛圍.

六、提問延伸

你能試著用上面的幾種方法解決孫子算經(jīng)中的“雞兔同籠”問題嗎？

籠子里有若干只雞和兔. 從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳. 雞和兔各有幾只？

設計意圖：提問引發(fā)學生思考，應用學會的方法解決問題.

設計亮點：

“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，為學生經(jīng)歷猜測、驗證的過程提出了挑戰(zhàn)，引導學生化繁為簡是探究問題. 學生通過猜測和驗證并經(jīng)過幾次簡單猜測和數(shù)據(jù)調(diào)整，學生發(fā)現(xiàn)仍然不能得到正確結(jié)果，以此激發(fā)學生深入探究解決問題策略的欲望. 在引導學生探索解決問題方法的過程中，呈現(xiàn)了猜測、列表、假設等方法. 通過讓學生觀察表格，發(fā)現(xiàn)規(guī)律自然的引出假設法. 以上方法體現(xiàn)了讓學生經(jīng)歷直覺猜測、有序思考、假設推理的過程，可使學生對這一問題有較為深刻的理解和認識.