如何在教學中引導學生理解數學公式的本質

吳亞婷

【摘要】 數學公式掌握的好與否牽涉到中學生整個數學知識體系的構建和深化. 本文剖析初中生學習數學公式所存在的問題，并結合實際案例《平方差公式》，設計操作活動，提出四點有利于初中生理解數學公式本質的策略：1.讓學生在動手操作中發現公式模型；2.讓學生出題構造公式，深化公式理解；3.代數意義與幾何解釋雙管齊下，多角度理解公式；4.提供公式變式，讓學生在應用中理解公式.

【關鍵詞】 數學公式；公式變形；公式構造；多角度

一、數學公式學習的重要性

（一）數學公式的概念

數學公式是人們在研究自然界物與物之間時發現的一些聯系，并通過一定的方式表達出來的一種表達方法. 是表征自然界不同事物之數量之間的或等或不等的聯系，它確切的反映了事物內部和外部的關系，是我們從一種事物到達另一種事物的依據，使我們更好的理解事物的本質和內涵.

（二）數學公式學習的重要性

在數學學習中，數學公式是非常重要的，俗話說，千里之行始于足下，如果學生要在數學領域遠行千里，那么數學公式就是“足下”，是遠行的基礎和出發點. 同時，數學公式掌握的好與壞牽涉到中學生整個數學知識體系的建構和深化. 數學知識環環緊扣，互相聯系緊密，只有在深刻理解數學公式的基礎上，學生才能將所學知識融會貫通，靈活應用.

二、初中生學習數學公式所存在的問題

（一）學生淺層記憶公式

初中生在學習數學公式的時候偏向于記憶公式，但是對公式的本質意義理解層次低. 如在記憶平方差公式（a + b）（a - b） = a2 -b2時，學生開口就直念a加b乘以a減b等于a的平方減b的平方，只是淺層次記憶公式的表達式，但是當公式換個字母或者換種形式，部分學生就不知如何處理了.

（二）在公式變式后無法辨認公式模型

公式的應用非常靈活，但是靈活的應用必須是建立在學生深刻理解公式本質特征的基礎之上，如處理在平方差公式中產生的

符號變形（-a + b）（-a - b） = a2 - b2，

位置變形（-b + a）（a + b） = a2 - b2，

項數變形（a + b + c）（a + b - c） = （a + b）2 - c2，

指數變形（a2 + b2）（a2 - b2） = （a2）2 - （b2）2時，學生就容易一片混亂，無法在各種變形中辨認出平方差公式，因為學生并沒有理解平方差公式“字母的可變、結構不變”這一本質特征.

三、在具體應用中無法抽象出公式模型

很多數學問題的解決需要學生分析問題條件，根據條件特征，去主動構造公式進行問題解決，但是很多學生沒有辦法在具體應用中抽象出公式的模型. 如進行10002 × 9998的簡便運算，很多學生就直接死算，構造不出（10000 + 2） × （10000 - 2）. 主要原因是學生心中對公式就只有一個符號概念，沒有現實中的意義解釋.

四、以《平方差公式（1）》為例，引導學生理解數學的本質

（一）設計操作活動，讓學生在動手操作中發現公式模型

如在新知引入中，我設置了一個動手操作活動

（1）現在有兩個數，不知其大小，請你隨意用兩個字母來表示這兩個數.

（2）請求這兩個數的和與差的乘積

（3）請思考：兩個數的和與這兩個數的差的乘積等于什么？

這一活動沒有要求具體用什么字母，隨機抽取幾名同學到黑板上根據指示進行操作，再抽取臺下的學生回答，這個環節可以突破平方差公式“字母可變，結構不變”的本質特征，它是兩數之和與兩數之差的乘積，結果為兩數的平方差. 學生自己動手操作，主動發現的公式模型，遠比老師自上而下灌輸的效果好.

（二）讓學生出題構造公式，深化公式理解

在“我出題我驕傲”環節里，請補充一個因式，使下列式子可以運用平方差公式（2a + b）. 根據構建主義的學習觀，學習不是知識由教師向學生的傳遞，而是學生建構自己的知識的過程. 學生不是被動的信息吸收者，而是意義的主動建構者，這種建構不可能由其他人代替. 學習是個體建構自己的知識的過程，這意味著學習是主動的，學生不是被動的刺激接受者，他要對外部信息做主動的選擇和加工. 因此在這個環節的設計，給學生提供了一個主動構建的平臺，學生可以實現知識的主動整合和構建，對公式的理解就會達到更深的層次.

（三）代數意義與幾何解釋雙管齊下，多角度理解公式

教學設計中在代數推導之后，添加了一個幾何解釋環節，利用給出的圖形對平方差公式進行驗證.

教學中發現，學生常把代數知識與幾何知識自動隔離，認為這是兩個截然不同的兩個知識模塊，在理解代數公式的時候，認為就是符號的變換，不具有實際意義. 但實際上數學的很多公式都可以用圖形進行解釋和驗證，并且學習和理解數形結合的思想方法有利于學生在數學的學習之路走得更遠，特別是解析幾何的學習.

此外，多角度理解代數公式的意義，有利于學生解決現實背景問題，如義賣活動前期，陳老師提出，把咱班邊長為x米的正方形場地，一邊增加5米，另一邊減少5米，我們該答應嗎？學習了平方差公式的幾何意義后，學生解決這個問題就輕而易舉.

（四）提供公式變式，讓學生在應用中理解公式

（1）20002 - 1998 × 2002

（2）2000 × 1999 × 1997

（3）542 - 462 + 772 - 232

（4）502 - 492 + 482 - 472 + … + 22 - 12

（5）（3 - 1）（3 + 1）（32 + 1）（34 + 1）

（6）（2 + 1）（22 + 1）（24 + 1）（28 + 1）（提示 2 - 1 = 1）

在教學設計的最后一個環節看，我設計了一個速算奧秘揭曉環節，這個環節是對平方差公式的變形應用. 正用、逆用、變用是應用公式的三個層次，正用是理解公式后所達到的基礎層次，逆用是掌握知識后的靈活應用，而變用則是學習公式后的創造性應用. 在這個環節設計中層層遞進，給學生鋪設腳手架，讓學生在應用中深入理解公式，達到應用公式的最高層次.

【參考文獻】

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