測量直流電壓時減小誤差的計算方法探討

摘 要：本文主要介紹一個測量方法，當我們使用直流電壓表測量直流電壓源的開路電壓UOC時，如果直流電壓源的內阻R0不足夠小，電壓表的內阻RL值不足夠大，就不能忽略R0引起的測量誤差。基于選擇電壓表不同的量程時，電壓表的內阻值也不相同，我們使用電壓表進行兩次測量，然后通過計算得到開路電壓值。這樣得到的開路電壓值將趨于實際值，因此測量誤差減小。

關鍵詞：直流電壓；測量方法；測量誤差

為了準確測量直流電壓源的開路電壓UOC，我們必須要求直流電壓表不改變電路原來的開路狀態。 這意味著直流電壓表的內阻RL必須趨于無窮大。

但在通常情況下，電壓表的內阻RL的值不夠大。 如果使用這種電壓表測量直流電壓源的開路電壓UOC，則原來的開路的電壓源將變成閉合回路。

那么閉合回路的電流I在電壓源內阻R0的兩端產生電壓。導致電壓表的顯示值和UOC的實際值之間出現誤差。

1 電壓的直接測量和誤差

如果電壓表的內阻RL不趨于無窮大，當我們測量由直流電源供電的電阻電路中的任意兩點之間的電壓或測量直流電壓源的開路電壓時，容易發現電壓表內阻RL越小，則電壓表的顯示值和實際電壓值的誤差越大。

如果直流電壓源的內阻R0（或：直流電路的戴維南等效電路的內阻）不趨于零， 當我們使用直流電壓表測量開路電壓UOC時，RO值越大，則電壓表的顯示值和實際電壓值的誤差越大。

1.1 電壓表內阻的測量

我們可以使用分壓理論來測量直流電壓表的內阻RL值。

如圖1所示，首先根據電壓表的量程，選擇恒定電壓源E的電壓值小于或等于電壓表的量程，并把開關K連通讀取記錄電壓表的顯示值V1； 然后在不改變恒定直流電壓源E的條件下，我們把開關K斷開，改變標準電阻箱Rt的電阻值，以便將電壓表的顯示值調節到“V1/2”處；

接著從電阻箱的面板上直接讀取電阻Rt的值（或：用可調電阻器代替電阻箱，再用歐姆表測量Rt的值）；

最后根據分壓原理，就可以得到直流電壓表的內阻RL等于Rt[ 1 ]。

1.2 電壓表內阻引起的測量誤差分析

我們在測量直流電壓源的開路電壓UOC時，為了分析電壓表內阻RL引起的測量誤差（電壓表的顯示值UO≠ UOC），采用如圖2所示的直流電壓表V來測量。

在圖2（a）中，待測直流電壓源的電動勢為E，其內阻為R0；

在圖2（b）中，直流電壓表V的內阻為RL，回路電流為I。

根據歐姆定律，可得到電流如下：

以及，電壓表的兩個端點上的電壓是：

根據式（1）、式（2），我們得到：

在電壓源的恒定的條件下， 如果RL的電阻值足夠大（這意味著RL趨于無窮大），我們就稱電壓表為“理想電壓表”，理想電壓表顯示的U0等于電壓源的開路電壓UOC，這表示著UOC等于電動勢E，理想電壓表沒有內阻RL導致的測量誤差。

分析如下：如果RL→∞，根據表達式（1）和（3），可得到電流I = 0和理想電壓表顯示的電壓U0 = E。我們稱此時的U0為理想電壓表的顯示值，此時U0的實際值（理論值）為

如果電壓表內阻RL不足夠大（這意味著RL不趨于無窮大，且不為零），這種電壓表稱為實際的電壓表。當我們使用實際電壓表測量UOC的值時，電壓源的開路狀態將變為閉合回路。

實際電壓表顯示的UO小于電壓源的開路電壓UOC（UOC= E），此時產生了測量誤差。

分析如下：由于RL 不趨于無窮大且RL≠0，根據表達式（1）和（3），我們可以得到I≠0，以及U0=（E - I×R0）根據UOC的實際值為E和實際電壓表測量UOC的顯示值為（E - I×R0），就知道實際電壓表的測量有誤差，因此我們使用絕對誤差ΔU來描述測量UOC的誤差大小。

由于絕對誤差ΔU是實際電壓表測量的顯示值減去開路電壓的實際值E（理想電壓表的顯示值），所以絕對誤差的計算式如下：

根據圖2（b）電路和公式（4），可容易地理解，如果增加RL的電阻值或減小R0的電阻值，△U的絕對值將減小。

因此：不改變測量方法時，必須選擇電壓表的內阻RL的值足夠大，使電流I趨于零。

2 測量電壓的計算方法

2.1 使用電壓表的兩個量程進行測量

如圖3所示，使用電壓表的兩個量程對實際電壓源進行兩次測量。

我們用圖3（a）描述實際電壓源，其中它的內阻是RO、電動勢是E、開路電壓是UOC；

用圖3（b）描述測量UOC的方法，其中回路電流是I，電壓表V測量開路電壓的讀數值是U0，電壓表在量程1的內阻是RL1，電壓表在量程2的內阻是RL2。

如圖3（b）所示，規定選擇電壓表選擇量程1時：回路電流I的測量值用I1表示，電壓表的測量顯示值UO用U1表示，得 I1 = E/ （R0+RL1） 和 U1 = I1×RL1。

綜合上述兩個表達式，我們得到：

如圖3（b）所示，規定選擇電壓表選擇量程2時：回路電流I的測量值用I2表示，電壓表的測量顯示值UO用U2表示，得 I2 = E/（R0+RL2） 和 U2 = I2×RL2。

綜合上述兩個表達式，我們得到：

綜合表達式（5）和（6），就可消掉R0，從而得到實際電壓源開路電壓UOC的實際值是電動勢E，即UOC = E的計算表達式，如下：

結合表達式（4），我們可以理解上式刪除了由R0引起的測量誤差。

2.2 使用相同量程的電壓表進行兩次測量

當電壓表只有一個量程并且內阻RL不足夠大時，我們還可以附加一個已知的電阻R，使用兩個不同的電路來測量實際電壓源的開路UOC作為示例，用以闡明使用同一個量程的測量計算方法。

實際電壓源的等效電路圖如圖4（a）所示。電壓源的內阻是R0，電動勢是E，開路電壓是UOC。

第一次測量，如圖4（b）所示，回路電流用I1表示，電壓表測量顯示值用U1表示，有I1 = E /（R0 + RL）和U1 = I1×RL，則得：

第二次測量，如圖4（c）所示，回路電流用I2表示，電壓表測量顯示值用U2表示，有I2 = E /（R0 + RL + R）和U2 = I2×RL，則得：

解表達式（8）和（9），就可消掉R0，從而得到實際電壓源開路電壓UOC的實際值是電動勢E，即UOC = E的計算表達式，如下：

3 直流電路中電壓的測量算法

電壓的測量計算方法：

如圖5（a）所示，我們用N表示含有電源的直流電阻電路，a和b兩端點是電路N中的不同電位點，a和b兩端的電壓是Uab（Uab = UOC）。因此，我們稱這種具有二端點的電路N是戴維南（Thevenin）定理描述的線性二端網絡（注2）。

在圖5（b）和（c）中，我們采用內阻為RL的電壓表測量二端網絡N中a和b兩端的電壓時，可以把圖5（b）所示的二端網絡N等效為圖5（c）中的電動勢E和R0的串聯。

為了得到圖5（a）中a和b兩端之間的開路電壓UOC（Uab = UOC）：

我們可根據圖5（b）和（c），并結合圖3和圖4，就很容易知道一個事實，我們可以對直流電路中的電壓進行兩次測量，應用計算方法得到在圖5（a）兩端點a和b之間趨向于實際值的電壓

因此，在圖5（c）中， 當RL趨于無窮大時，我們可以分別將公式（7）和（10）改寫為公式（11）和（12），計算開路電壓UOC如下：

算法1，采用圖3（b）的方法，對圖5（a）用電壓表的兩個量程測量計算：

算法2，采用圖4（b）和（c）的方法，對圖5（a）用電壓表相同量程構成兩種測量電路，進行測量計算：

參考文獻：

[1] 張軍明，許桂清編著.中學物理科學探究學習評價與案例.北京大學出版社，2010-11-01.

[2] 電路分析基礎.西安電子科技大學出版社.2013-04-01.

作者簡介：

柯廷豐，男，湖北省應城一中高三年級，指導老師：李達。