巧用a2 + b2 ≥ 2ab的變式簡證一類分式不等式

何世洪

【摘 要】 分式不等式的證明因其結構對稱優美、證法多樣獨特而成為人們熱衷研究的對象.有些證明思路的技巧性較強，不易想到，但巧用不等式a2 + b2 ≥ 2ab（當且僅當a = b時，取“”號）的一些變式來證明與之類似的不等式，其過程簡潔、明了.

【關鍵詞】 變式；巧證；不等式

分式不等式的證明因其結構對稱優美、證法多樣獨特而成為人們熱衷研究的對象，也是數學競賽的一個熱點.但這些證明思路的技巧性較強，不易想到，經過筆者研究、發現，巧用不等式a2 + b2 ≥ 2ab（當且僅當a = b時，取“”號）的一些變式來證明與之類似的不等式，其過程簡潔、明了，能收到出奇制勝的效果.現列舉如下：

變式一：當m > 0，b > 0時， ≥ 2a - b， + b ≥ 2a.

這個變式很容易獲得，用來證明形如這種結構特征的分式不等式，就有其用武之地.

例1 已知a，b，c > 0，求證： + + ≥（a + b + c）（第二屆“友誼杯”國際數學競賽邀請賽試題）

證明 由b + c > 0，變式一得：

= ≥ [2（2a） - （b + c）].

同理： ≥ [2（2b） - （a + c）]，

≥ [2（2c） - （a + b）].

以上三式相加，得：

+ + ≥ [2（2a） - （b + c） + 2（2b） - （a + c） + 2（2c） - （a + b）] = （a + b + c），當且僅當a = b = c時，取“=”號.

例2 已知a，b，c > 0），求證： + + ≤ .（第26屆美國數學奧林匹克USAMO試題）

證明 由a，b > 0， + b ≥ 2a， + a ≥ 2b，得 + ≥ a + b.

同理： + ≥ b + c， + ≥ c + a.

有 + + c ≥ a + b +c， + + a ≥ a + b + c， + +b ≥ a + b + c.

化為 ≤ ， ≤ ， ≤ .

相加，得： + + ≤ 1，

即 + + ≤ 1，

所以， + + ≤ ，當且僅當a = b = c時，取“=”號.

變式二：當m > 0，b > 0時， + mb ≥ 2.

例3 已知a，b，c > 0，且abc = 1，求證： + + ≥ .（第36屆IMO第2題）

證明 要證 + + ≥ ，即證： + + ≥ .

由m > 0，b > 0， + mb ≥ 2，令m = ，得 + a（b + c） ≥ bc， + b（a + c） ≥ ac，c（a + b） ≥ ab

相加，整理，得

+ + ≥ （bc + ac + ab）.

又a，b，c > 0，bc + ac + ab ≥ 3 = 1，

所以 + + ≥ .

即原不等式 + + ≥ 成立，當且僅當a = b = c時，取“=”號.

變式三：若a，b > 0，則 ≥ .

事實上，由a，b > 0，a2 + b2 ≥ 2ab，兩邊同除以a2，得 ≥ .

例4 已知x > 0，y > 0，求證： + + ≤ + + .

證明 由x > 0，y > 0，變式（二）得： ≥ ， ≤

同理： ≤ ， ≤ .

相加，得：

+ + ≤ + + ， 當且僅當x = y = z時，取“=”號.

變式四：若a，b > 0，則 ≥ （a + b）.

由a，b > 0，a2 + b2 ≥ 2ab，得

2（a2 + b2）≥a2 + 2ab + b2 = （a + b）2，有 ≥ （a + b）.

例5 已知ai > 0，i = 1，2，3，…，n，且ai = 1，求證：

+ + … + + ≥ （第24屆全蘇聯中學生IMO試題）.

證明 由ai > 0，i = 1，2，3，…，n變式（三）知：

≥ （a1 + a2）， ≥ （a2 + a3），…，

≥ （an - 1 + a2），≥ （an + a1）

相加，得：

+ + … + + ≥ 1.

又 + + … + + - - - … - - = （a1 - a2） + （a2 - a3） + … + （an-1 - an）+（an - a1） = 0

∴ + + … + + = + + … + +

那么， + + … + + =

2 + + … + + ≥ 1，

所以 + + … + + ≥， （ 當且僅當a1 = a2 = a3= … =ai時，取“=”號）.

變式五：若a，b > 0，則

≥或≤.

由變式（二）便知該不等式成立，適應于證明一類無理型分式不等式.

例6 已知a > 0，b > 0，c > 0，求證： + + ≤ + +

證明：由 ≤ ，令a = 1，得：

≤ .

同理， ≤ ， ≤

相加，得： + + ≤

+ +

當且僅當a = b = c = 1時，取“=”號

變式六：若a，b∈R，則 ≥ 或a2 + b2 ≥ 2.

由a2 + b2 ≥ 2ab，易知2（a2 + b2） ≥ a2 + 2ab + b2 = （a + b）2，有 ≥ 2或a2 + b2 ≥ 22.