二次根式易錯題分析研究

員紅

甘肅省教育科學“十二五”規劃2014年度《初中學生數學易錯題分析研究》課題（課題批準號：GS[2014]GHB0668）成果.

《二次根式》這一章是中華人民共和國教育部于2013年審定的、人民教育出版社出版的義務教育教科書《數學》八年級下冊的內容之一，本章內容是每年中考的熱點考題之一，但由于主觀和客觀方面的原因，學生極容易做錯本章中的有些題.下面我就本章中學生容易做錯的一些題進行了抄寫和歸類，做出錯因分析，并給出正確解法.

1. 下列計算中正確的是 （ ）.

A. × =

B. × =

C. × = = = 6

D. = -3

錯解一：（A）.

錯解二：（C）.

錯解三：（D）.

錯因分析：（A）出錯的原因是濫用、誤用二次根式的乘法公式；（C）出錯的原因是未考慮二次根式有意義的條件是被開方數非負，即忽略了公式· = （a ≥ 0，b ≥ 0）成立的條件；（D）出錯的原因是未能正確運用二次根式的性質 = |a| = a，a > 00，a = 0-a，a < 0即解題時忘記了-3 < 0這個條件.

正解：（B）

2. 先化簡，再求值：2x - ，其中x = .

錯解：∵ 2x - = 2x - = 2x - （x - 2） = x + 2.

∴ 當x = 時，2x - = + 2.

錯因分析：由于重視問題中的默認條件、忽略隱含條件x = < 2而出錯.

正解：∵ x = < 2，∴ x - 2 < 0，∴|x - 2| = 2 - x.

∴ 2x - = 2x - = 2x - |x - 2| = 2x - （2 - x） = 3x - 2.

∴當x = 時，2x - = 3 - 2.

實際上，在進行二次根式的化簡時，先要將寫成|a|，再根據a的性質去掉絕對值的符號.

3. 已知x為實數，化簡 - x.

錯解： - x = x - x·

= （x - 1）.

錯因分析：由于沒有認真審題，沒有挖掘出題目中的隱含條件而出錯.

正解：由知-x3 ≥ 0- > 0知x < 0.

∴ - x = + = · + = ·|x| + = -x + = （1 - x）.

4. 已知實數a，b，c為△ABC的三條邊，試計算代數式 + + 的值.

錯解： + +

= |a + b - c| + |b - c - a| + |b + c - a|

= （a + b - c） + （b - c - a） + （b + c - a）

= -a + 3b - c.

錯因分析：由于沒有記清楚三角形三邊之間的關系而出錯.

正解：∵ a，b，c為△ABC的三條邊，

∴ a + b - c > 0，b - c - a < 0，b + c - a > 0.

∴ + +

= |a + b - c| + |b - c - a| + |b + c - a|

= （a + b - c） + （b - c - a） + （b + c - a）

= a + b - c - b + c + a + b + c - a

= a + b + c.

5. 下列根式中屬于最簡二次根式的是 （ ）.

A. B. C. D.

錯解一：（A）.

錯解二：（C）.

錯解三：（D）.

錯因分析：（A）中 = ，即被開方數中含有因數32；（C）中的被開方數中含有分母；（D）中的被開方數中含有沒開盡方的因數a2.即沒有弄清楚最簡二次根式的概念而出錯.

正解：（B）.

實際上，要判斷一個二次根式是不是最簡二次根式，只要滿足以下兩點就可以：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

當然《二次根式》這一章中的易錯題絕不僅限于此，而且這些易錯題也可以防范，這就要求學生在做題時要：牢記公式成立的條件；不濫用、誤用公式；重視默認條件的同時也不忽視題目中的隱含條件；正確理解概念.