一題多解，提高學生數學解題能力策略

陳荔清

眾所周知，數學的學習能力是否提高是初中學生解決問題能力的重要標志，也是許多數學教師關注的問題. 經過多年的教學實踐探索，筆者認為學生在學習數學過程中經歷了從模仿到創新的不同階段. 模仿學習在初期是必要的，同時也應該認識到，過多的模仿會造成解題思路的模式化. 為了改變這種現狀，我們在教給學生怎樣解題的同時，我們更要集思廣益，分析典型例題解法的多種途徑，拓展學生們解題的思維，真正達到以點帶面、觸類旁通、舉一反三的效果. 現舉例與大家分享：

例1 在△ABC中，∠A = 90°，點D在線段BC上，∠EDB = ∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F.

（1）當AB = AC時，（如圖1），

①∠EBF = _______°；

②探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明.

（2）當AB = kAC時（如圖14），求的值（用含k的式子表示）.

這道題許多老師在講評時都會覺得它很經典，學生們聽完后也是頗有收獲. 可是，過了幾天再在試卷中呈現出來時，能解對的學生是寥寥無幾. 這到底是怎么回事？是老師講得不透徹？還是學生學得不扎實？原因肯定都有. 但是關鍵是教的方法不全面，造成學生學得不到位. 現多角度展現這道題的解法.

解 （1）① ∠EBF = 22.5°；思路是過D作DH∥AC交BE延長線于H，易證△BED ≌ △HED，則∠EBF = ∠HDE = -∠HDB = ∠C = 22.5°（圖略）.

對于第（1）題②小題，筆者用以下常見6種方法進行論證：

方法一：如圖3，過D作DH∥AC交BE延長線于H，

∴ ∠DMB = ∠A = 90°.

∵ ∠MBD = 45°，

∴ ∠MDB = 45°，

∴ BM = DM.

∵ ∠FMD = ∠HMB = 90°，

∠1 = ∠2，

∴ △BHM ≌ △CMF.

∴ DF = BH 易證△BDE ≌ HDE.

∵ BE = BH，∴ BE = DF，

方法二：如圖4，過D作DG⊥AB于G，連接EG，

則∠BEF = ∠DGF = 90°

∴ E，B，D，G四點在以BD為直徑的圓上.

∴∠1 = ∠2 = ∠3 = 22.5°.

取DF中點H，連接GH，

∴△EGH與△BGD均為等腰三角形，可證 △EBG ≌ △HDG.

∴ BE = DH = DF.

方法三：如圖5，過A作AG∥DE交BE延長線于G，交BC延長線于H，過C作CN⊥AH于N，

∵ ∠BAC = 90°，

∴ ∠1 + ∠2 = 90°.

∵ ∠1 + ∠3 = 90°，

∴ ∠2=∠3.

可證 △ABG≌△CAN.

∴ BG = AN.

∵ ∠2 = ∠H = 22.5°，∴ AC = CH.

∵ CN⊥AH，

∴ AN = HN = BG.

∵ DE∥HG，

即DF = 2BE.

方法四：如圖6，

延長CB到G，使BG = BF，連接GF，過B作BM⊥FG于M.

由∠1 = ∠2 = 22.5°，

可證 △BMF ≌ △FEB.

∴ BE = MF = GF.

由∠1 = ∠GDF = 22.5°，

∴ GF = DF.

∴ BE = DF.

方法五：（如圖7）

過點F作FG∥BE交BD于G，取DG中點H，連接FH，過H作HM⊥DF于M.

則∠GFD = ∠E = 90°.

Rt△DFG中，H為DG中點，

∴ FH = DH，

∴ ∠1=∠2=22.5°，

∴ ∠FHB = 45°，

∴ FH = BF = DH，

再證 △BEF≌△DMH.

得 DM = BE = DF.

以上這五種方法一般是構造全等、相似對線段的倍數關系進行分解，從而達到獲解的目的.

方法六則要引入參數來解（如圖8）：

在DF上取一點G，使DG = BG，

則∠1 = ∠2 = 22.5°，得△BEG為等腰直角三角形，

設EF = x，BE = y，則BG = y，

∴ FD = y + y - x.

由△BEF ∽ △DEB，

∴ x = （ - 1）y，

∴ DF = y + y - y + y = 2y = 2BE. 證畢.

對于第（2）題，可套用以上方法，證明略.

通過這道題的分析與解答，學生能夠從中發現一題多解，啟發學生從不同的角度去思考，一方面培養學生學習的興趣，另一方面又豐富學生的數學思維，既能梳理知識，鞏固知識，又能開拓思維的廣度，促進學生思維的發展，提升學生的解題能力.

總之，在初中數學教學中，只要我們備課時重視一題多解，開闊解題思路，就一定能夠培養初中生的數學解題能力.