建構模型 融入思想

《標準（2011年）》新增加了三個關鍵詞，之一就是“模型思想”，并指出“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑、建立和求解模型可以提高學習數學的興趣和應用意識. ” “模型思想”成為新一輪數學課程改革的一個明顯亮點，人們對其內涵、組成、教育意義等都進行了深入的探討.

但如何在實際教學中幫助學生有效地建構數學模型、融入模型思想，仍值得研究. 本文略提幾點想法，求教于大家.

一、直觀感知——建模的土壤

數學教學是數學活動的教學，小學生學習數學是自我探索、體驗建構的過程. 教者提供豐富的感性材料，學生動手做一做，拼一拼. 活動中學生的思維具有很大的空間，他們手腦并用，在操作中思維，在思維中操作，在直觀形象與抽象概括之間架起了數學模型的橋梁，以促使新的知識內化成認知結構. 案例 《圓的面積》

（一）七次剪拼

1. 學生操作學具

先是分成2等分，發現拼不起來，再等分成4等份，發現拼成的圖形有點平行四邊形的輪廓（如下圖1）. 接著引導學生操作學具將圓平均分成等分成8等份、16等份，再試著拼一拼，發現拼成的圖形接近平行四邊形. （如下圖2）.

2. 電腦演示

等分成了32份、64份、128份，學生發現竟然越來越接近長方形了. 有了這樣的體會，引導學生想象如果等分成無限份再拼的話，會怎樣呢？學生肯定地說，拼成的圖形就是長方形了. 從不像，到有點輪廓，有點像，更像，最后到簡直就是長方形、就是長方形，學生經歷了知識產生和形成時艱難的探索過程.

（二）觀察比較

師：請大家觀察圓與長方形，你發現了什么呢？

生①：長方形的長 = 圓周長的一半，長方形的寬 = 圓的半徑

生②：長方形的長用字母表示πr，寬用r表示.

生③：長方形面積 = 圓的面積，圓的面積 = 長方形面積 = πrr = πr2

學生經歷圓面積的推導過程，獲取廣泛的數學活動經驗，并將這些直觀經驗形成的表象深深地印在腦中，推導出圓面積的數學模型. 思維是從動作開始的，教學中，盡量讓學生多動手操作，化靜態為動態，化抽象為具體，增強學生感知覺的敏感度. 形象的支撐，土壤的“滋潤”，建模水到渠成，思想趨向生成.

二、歸納抽象——建模的關鍵

數學模型構造過程的本質是數學思維的活動，在構建數學模型的過程中，面臨各種問題，能用數學的眼光、從數學的角度，運用觀察、實驗、猜想、歸納、抽象等思維方法發現、提出問題，分析和解決問題. 數學思維的過程和動態促成了模型思想的穩定滲透. 抽象概括是形成概念，得出規律的關鍵性手段，也是建立數學模型最為重要的思維方法. 在充分觀察、積累“厚實”的基礎上，從許多數學事實或數學現象中舍去個別的，非本質的屬性，而抽象出共同的本質屬性，構建現實問題的數學模型.

案例 《正比例的意義》

例1：一輛汽車每小時行50千米，行1小時、2小時、3小時……各行了多少千米？所行的路程和時間有什么關系？

例2：一種圓珠筆，枝數和總價如下表.

學生總結出關系式：

■ = 速度（一定） ■ = 單價（一定）

學生概括出成正比例的量的含義.

師：你能不能用一種關系式，把成正比例的兩種量表示出來呢？

學生展示自己創造出的各種關系式，最后統一概括成：

如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系就可以用下面的式子表示：■ = k（一定）

可以發現，這個學習過程，正是以一個抽象概括方式建立數學模型的過程，是“具體問題——數學問題——符號模型”的過程. 它舍去了與數無關的具體情節，把反映數學問題的“本質特征”抽取出來，用關系式概括，形成數學模型，以便于后面學習中有效地進行解釋、應用. 當我們以抽象概括的思維方法來審視小學數學教學中的許多數學問題時，可以發現，貌似不同的數學情景的背后，往往具有相同的思維模型. 因此抽象、概括，可以加深學生對事物本質的把握，形成一般化、形象化的認識，構建數學模型.

三、應用拓展——建模的靈魂

學生在教師的引導下，運用多種方法、形式建構數學模型，但學習不能總是依賴老師的“引”，思維不能僅僅停留在這個層面上，建構模型更應是一種自覺行為，一種內心需求. 教學中，教者應該適時退出去，搭建平臺，放手讓學生主動建構，讓構建數學模型的程序、方法成為學生的一種學習思想. 從具體問題中抽象出數學模型后，建模并未終結. 還要變換問題情境，引導學生將數學模型再應用到豐富的、典型的實際問題中，以此來深化模型的內涵，拓展模型的外延.

案例 《常見的數量關系》

1. 學生得出了數學模型：速度×時間=路程

2. 師：我們來回顧二年級的學習內容.

（師出示：4個盤子，每盤有3個蘋果）

師：可以列出怎樣的算式？哪個數據相當于速度？哪個數據相當于時間……

（師出示：用磚砌成的墻）

師：什么相當于速度？什么相當于時間、路程？

師：是不是還有些數量也是這種“一乘兩除”的關系？

（師出示：單價、數量、總價）

師：它們之間是什么關系？學生回答.

師：這些都是二年級學習的乘法問題. 打個比方：乘法是個筐，好多東西里面裝！

【課件出示：（ ） × （ ） = （ ）】

學習不僅僅是局限于一個問題、一類問題的解答，而應在解決問題中體會數學的模型思想. 思考至此，接下來的教學應“乘勝追擊”.

建立了行程問題的模型后，教者并未罷手，進行了類比抽象，將一系列“一乘兩除”的問題歸之于乘法，對乘法模型進行了適度的生成、拓展、與重塑，由此派生出新的數學模型.

從具體問題中抽象出基本的數學模型，在解釋應用數學模型的過程中，適時引導學生自主探究、遷移類推，學會創造性地建模、探索性地變模，舉一反三，隨著一個個問題的提出和解決，不但使學生深化對數學模型的理解、把握與構建，也使學生自然地養成從不同的問題情境中找出統一結構關系的數學模型的思維習慣和數學觀念. 以“不變應萬變”，加深學生對事物本質的把握，使得學生學會抓住數學的模型思想這個“靈魂”，在以后的學習中學會思考、善于思考，學會有效地去創造新知識，使他們適應未來的學習和發展.

數學是關于模式的科學，學生學習數學，重要的是學會探求模式，發現規律. 模式可以模仿，更可以創新. 建模中，學生經歷了數學模型“動態”的、鮮活的形成過程，在活動中獲得了“靜止”的、形式化的數學模型，領會數學建模的思想和方法，也就可能使學生日后在面對不熟悉的問題情境乃至數學學科以外的現實世界時，像數學家那樣進行“模型化”的處理，讓“模型思想之花”處處開放.