點擊高考中的函數問題

葉海明

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0083-02

函數是高考的一個重點知識，試題涉及函數的性質、零點與方程的根、導數與不等式的應用，考查了數形結合、分類討論及函數與方程思想的應用及推理、探究能力?？陀^題中主要考查函數的性質的應用，中等難度為主。壓軸題中重點考查函數與導數、不等式的綜合應用。

一、關注函數的定義域

函數問題要先明確函數的定義域，要正確把握基本初等函數的定義域，尤其關注對數函數及根式與分式有意義的條件，直接考查定義域的題目，多出現在客觀題中，屬中等難度。但在函數問題中，如求單調區間及判斷函數的奇偶性問題中，往往容易忽略要先求函數的定義域，導致解題的失誤，要切記函數的第一步是求定義域。

例1：函數f（x）=的定義域為 。

本題綜合了對數函數、二次函數、根式三個知識點，考查了根式、對數有意義的條件及對數不等式、一元二次不等式。由ln（2x2-x）≥0，可得定義域為（-∞，-0.5]∪[1，+∞）。

例2：已知函數f（x）的定義域為（-1，0），則函數f（2x+1）的定義域為 。

抽象函數的定義域就是要關注f（x）中的x等價于f（2x+1）中的2x+1，則2x+1的取值范圍為（-1，0），可得所求的定義域為（-1，-0.5）。變式：已知函數f（2x+1）的定義域為，則函數f（x）的定義域為 。

二、關注函數的基本性質

函數的基本性質包括單調性、奇偶性、周期性，經常以基本初等函數、復合函數、分段函數及抽象函數為載體來進行考查，考題主要涉及兩個方面：一是函數的單調性、奇偶性、周期性的判斷；二是函數單調性、奇偶性、周期性的簡單應用。多為客觀題，屬中等難度。

例3：函數f（x）=|ln（2-x）|的單調遞增區間為 。

本題是復合函數的單調性問題，綜合考查對數函數、一次函數及分段函數，先求函數的定義域為（-∞，2），對ln（2-x）進行分類討論，脫去絕對值，將函數f（x）轉化為分段函數，利用復合函數的單調性，可知所求的單調遞增區間為（1，2）。復合函數的單調性的口訣要切記：同號為正，異號為負。本題也可以利用函數圖像的變換，作出函數的圖像，根據圖像特征來判斷函數的單調遞增區間。

例4：奇函數f（x）的定義域為R，f（x+2），為偶函數f（1）=1，則f（8）+f（9）= 。

偶函數f（x+2）關于y軸對稱，則函數f（x）關于直線x=2對稱，因為奇函數f（x）關于原點對稱，作出函數f（x）的簡圖，可知函數f（x）的周期為8，則f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，所以f（8）=f（9）=1。函數的基本性質既有定義，又有圖像特征，借助函數的圖像特征，可以化繁為簡，降低解題難度，這也是數形結合思想在函數中的一個應用。

例5：設a=0.60.4，b=0.40.6，c=0.40.4，則a，b，c的大小關系為 。

構造函數y=0.6x，y=0.4x，并作出兩個函數的圖像，并找到a，b，c三個數，可以得出a>c>b。利用函數圖像來比較數的大小，形象且直觀。若a=log2%i，b=log0.5%i，c=%i-2，情況如何呢？構造函數y=log2x，y=log0.5x，y=%ix，并作出三個函數的圖像，可以發現a>0、b<0、c>0，則b最小，a、c不好判斷，這時通常就要借助1作為中間量來進行比較，易得a>1、c<1，所以a>c>b。比較數的大小，本質上是在考查指數函數與對數函數的圖像與性質，通過函數的圖像就可以比較出數的大小，若不好比較，借助一個常數（通常為1）就可以解題。

三、關注函數的零點

例6：已知函數f（x）=2x+x3-2，在下列區間中，包含f（x）的零點的區間是（ ）。

A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）

判斷零點在區間上是否有零點，可以直接利用零點存在性定理，將區間兩個端點代入函數表達式，只要對應的函數值異號，就可以判斷函數在區間上有零點。變式：函數f（x）在區間（0，1）內的零點個數是多少個？零點的個數問題，要構造函數：y=2x與y=-x3+2，并作出兩個函數的圖像，兩個函數的圖像在區間（0，1）內的交點個數就是函數f（x）在區間（0，1）內的零點個數，交點個數是1個，則零點個數也是1個。

四、關注恒成立及存在性問題

例7：若[1，2]內的任意一個實數x，使不等式2x（x-a）<1恒成立，求a的取值范圍。

函數恒成立問題要將參數與變量分離，可得a>x-0.5x，構造函數f（x）=x-0.5x，因為a>x-0.5x恒成立，則a大于函數f（x）的最大值。因為y=x為增函數，y=0.5x為減函數，所以f（x）在[1，2]上為增函數，則f（x）的最大值為1.75，故a>1.75。變式：若存在[1，2]內的實數x，使不等式2x（x-a）<1成立，求a的取值范圍。變式是存在性問題，存在性問題與恒成立問題剛好相反，此時要使a>x-0.5x成立，則a大于函數f（x）的最小值，可知f（x）的最小值為0.5，故a>0.5。恒成立與存在性問題要注意二者的區別：（1）若f（x）≤a恒成立，則fmax≤a；若f（x）≤a有解，則fmin≤a；（2）若f（x）≥a恒成立，則fmin≤a；若f（x）≤a有解，則fmax≤a，可以發現尋找的最值情況剛好相反，不能混淆。

例8：若函數f（x）=kx-lnx在區間（1，+∞）單調遞增，則k的取值范圍為 。

因為函數f（x）=kx-lnx在區間（1，+∞）單調遞增，所以f（x）=k-≥0在（1，+∞）上恒成立，即k≥在x∈（1，+∞）上恒成立。因為的最大值為1，所以k的取值范圍為k≥1。本題是用導數來求解函數的單調性問題，同時也是恒成立問題。用導數來求解函數的單調性問題時，須注意若求函數的單調遞增區間，則令f '（x）>0，但若函數f（x）在區間（a，b）單調遞增，則f '（x）≥0在區間（a，b）恒成立，單調遞減情況類似。

函數問題要關注定義域，解題過程中要注意函數圖像的應用，數形結合思想的應用會給解題帶來很大的便利，導數為研究函數的性質提供了新的工具，也是解決函數主觀題的主要工具，恒成立及存在性問題的基本思路是通過分離參數，轉化為求函數的最值。