淺談高中數學的恒成立題

王龍

摘 要 恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數型；②二次函數型；③變量分離型；④根據函數的奇偶性、周期性等性質；⑤直接根據函數的圖象。因此它對應的有六種常見方法。

關鍵詞 高中數學 恒成立

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）18-0065-02

恒成立問題一直以來都是高中數學的一個重點、難點。它涉及到一次函數、二次函數的性質、圖象，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用。因此它也成為歷年高考的一個熱點。

一、一次函數型 （函數法）

例1：對于滿足0≤a≤4的所有實數a，求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范圍。

解：不等式變形為x2+（x-1）a-4x+3>0

設f（a）=（x-1）a+x2-4x+3則其是關于a的一個一次函數：是單調函數，結合題意有即

得x<1或x>3

二、二次函數型（分類討論法）

例2：已知函數f（x）=x2-2ax+4在區間[-1，2] 上都不小于2，求a的值。

解：由函數f（x）=x2-2ax+4的對稱軸為x=a

所以必須考察a與-1，2的大小，顯然要進行三種分類討論

①當a≥2時f（x）在[-1，2]上是減函數，此時

f（x）min = f（2）=4-4a+4≤2

即a≥，結合a≥2，所以a≥2

②當a≤-1時，f（x）在[-1，2]上是增函數，此時f（-1）=1+2a+4≤2

f（x）min=f（-1）=1+2a+4≤2，結合a≤-1，即a≤-

③當-1即a≥或a≤-，所以≤a<2

綜上①②③滿足條件的a≤-的范圍為：a≥-或a≥

三、（不等式型）不等式法

例3：若關于x的不等式|x-2|+|x+3|≥a恒成立，試求a的范圍。

解：由題意知只須a比|x-2|+|x+3|的最小值相同或比其最小值小即可，得a≤（|x-2|+|x+3|）min

由|x-2|+|x+3|≥|x-2-（x+3）|=5，所以a≤5

四、（對數函數型）導數法

例4：已知f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），若當x∈[0，1]時f（x）≤g（x）在[0，1]恒成立，求實數的取值范圍。

解：f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立

即-2x-t≤0在[0，1]上恒成立

即-2x-t≤0在[0，1]上的最大值小于或等于0

令F（x）=-2x-t所以

F '（x）=-2=

又x∈[0，1]所以F '（x）即F（x）在[0，1]上單調遞減

所以F（x）max=F（0）

即F（x）≤F（0）=1-t≤0得t≥1

五、變量分離型（分離常數法）

例5：已知二次函數f（x）=ax2+x+1對x∈[0，2]恒有f（x）>0，求a的取值范圍。

解：對x∈[0，2]恒有f（x）>0即ax2+x+1>0變形為ax2>-（x+1）

當x=0時對任意的a都滿足f（x）>0只須考慮x≠0的情況a>即a>--

要滿足題意只要保證a比右邊的最大值大就行。

現求--在x∈[0，2]上的最大值。令t=∴t≥

g（t）=-t2-t=-（t+）2+（t≥）

g（t）max=g（）=-所以a>-

又f（x）ax2+x+1是二次函數∴a≠0

所以a>-且a≠0

六、（直接根據函數的圖象）數形結合法

例6：不等式ax≤在x∈[0，3]內恒成立，求實數a的取值范圍。

解：畫出兩個函數y=ax和y=在x∈[0，3]上的圖象

如圖

知當x=3時y=，a=

當a≤x∈[0，3]時總有ax≤

所以a≤

高中數學恒成立問題也沒有一個固定的思想方法去解決它，但各類考試以及高考中卻都屢見不鮮。以上是我自己對高中數學恒成立問題的一些解法，僅供參考！