課例：造橋選址問題

張學川

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0112-02

造橋選址問題在現實生活中有著廣泛的應用，在一條河上造橋，利用橋的長度始終保持不變，通過平移橋到河的岸邊，再利用兩點之間線段最短，從而達到最佳的建造一座橋選址的問題，有了在一條河道上建一座橋的基礎，可以得到在兩條河道、三條河道、直到在n條河道分別建造兩座橋、三座橋、n座橋的方法。利用平移變換進行造橋選址問題，是平移變換的一個重要應用，體現了數學源于生活，同時用運用于生活。從而達到平移知識的遷移在實際生活中的具體應用。

一、背景介紹

本節內容是我校實施的省級科研課題：“初中數學“課題學習”校本化實施與評價的行動研究”研究實施方案的研討內容之一。本節內容經過了幾位教師的執教與研討，本文展示的是筆者的實踐設計與實錄。

（一）內容與學情分析

“造橋選址問題”是人教版《數學》八年級上冊第十三章“軸對稱”的最后一節“ 課題學習”的第二節內容。比“將軍飲馬”問題較難，本節內容的解決主要是平移知識的綜合應用。是對學生動手操作能力的一個考查，本節的難點在于如何把問題轉化為“兩點之間，線段最短的問題”，在解決的過程中滲透了化歸的思想。

（二）目標與目標解析

1.能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題.

2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用；

3.能通過邏輯推理證明所求距離最短，感悟轉化思想，體會利用作圖解決最短路徑問題。

達成目標的標志是：能夠將實際問題中的“河”的兩岸抽象為數學中的“平行線”，把實際問題抽象為線段和最小問題。通過學生獨立思考、合作討論、教師點撥等方式；能利用平移將線段的最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求路徑最短；在探索最短路徑的過程中，體會平移的“橋梁”作用，感悟化歸的轉化思想，

（三） 教學思路與理念

本節教學的重點是利用平移變換解決造橋選址問題并利用“兩點之間，線段最短”公理進行證明，難點是體會利用平移作圖將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。

最短路徑問題從本質上說是極值問題，作為初中學生，以前涉及這方面的極值問題很少，特別是遇到具有實際背景的極值問題，更會無從下手。

在河岸的什么位置造橋，使得路徑最短，采用通過平移橋、或者河道的辦法，如何平移，為什么要這樣平移，多少學生存在理解上和操作上的困難。在教學時，教師要適時點撥學生。

二、教學過程

引言：前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”、軸對稱、平移等的問題，

1.下圖中的變換屬于平移的有哪些？

師生活動：讓學生獨立思考回答后，教師作補充。

設計意圖：通過問題1讓學生對軸對稱性質、平移的定義及其性質的應用進行再認識。

（一）將實際問題抽象為數學問題

歷史上著名的造橋選址問題：

A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

師生活動：1.如上圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑指的是哪些線段的和？

學生：AM+MN+BN，

教師：這三條線段哪些線段的長度是固定不變的，那么怎樣確定什么情況下路徑最短呢？

學生：橋的程度MN是固定的不變的。

教師：利用線段公理解決問題：我們遇到了什么困難呢？

思維點撥：在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？

學生：

（1）把A平移到岸邊

（2）把B平移到岸邊

（3）把橋平移到和A相連

（4）把橋平移到和B相連

（5）平移河道

師生活動：由于河道寬度是固定不變的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的。

我們可以將點A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1，那么為了使AMNB最短，只需A1B最短。根據兩點之間線段最短，連接A1B，交河岸于點N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑，如圖2。

證明：如圖3，如果在不同于MN的位置造橋M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根據“兩點之間，線段最短”。可知，AN1+N1B>A1N+NB。

所以，路徑AMNB要短于AM1N1B。

設計意圖：讓學生將實際問題抽象為數學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小的問題”。通過平移搭建臺階，即平移橋或河道的辦法，將問題轉化為易于解決的問題，滲透了化歸的轉化思想。

（二）小結

師生一起回顧本節所學主要內容，并請學生回答

（1）本節研究問題的基本過程是什么？

（2）平移在研究問題中起什么作用？

設計意圖：引導學生把握研究問題的基本策略、基本思路、基本方法，體會平移在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化化歸思想的重要價值。

（三）作業

由學生畫圖并完成四條河、五條河、直到n條河相互平行和相互不平行的橋的建造，并總結出規律。

設計意圖：進一步考查學生對本節所學知識的掌握程度以及平移等相關知識的綜合運用能力。

教學反思：本節課應著重體現小組合作學習的重要性，通過探究相互交流得到解決最短路徑的方法，由于難度較大，中差生學起來顯得力不從心。通過本節課的探究，我們不難體會到，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到的其它路徑經平移后在一條直線上。同時要讓學生明白許多問題的解決往往要通過特殊情形下的問題來解決，要運用轉化思想，讓學生學會探索一般與特殊，復雜與簡單之間的關系。如今修建的高速公路，許多的高架橋就是造橋選址在實際生活中的具體運用。