二重積分轉化為二次積分的“三定法”

張慶海 范卓 王德強

摘 要 計算二重積分最關鍵的是在定積分計算的基礎上，掌握好將二重積分轉化為二次積分的方法步驟。筆者結合自身的教學經驗，將二重積分轉化為二次積分的方法總結為“三定法”，即“定系、定序和定限”。

關鍵詞 二重積分 二次積分 三定法

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.06.012

Abstract The most critical calculation of double integral is based on the calculation of the definite integral， and master the method of converting the double integral into the two integral. The author's own teaching experience， the double integral transformation of quadratic integral method is summarized as "sanding" namely fixed line， sequencing and restriction".

Key words double integrals； two integrals； three methods

二重積分的計算是積分學中的一個重要問題，其基本方法是將二重積分轉化為二次積分來計算。所以學習二重積分計算的關鍵是在定積分計算的基礎上，掌握好將二重積分轉化為二次積分的方法步驟。具體來講，首先是確定坐標系；其次確定二次積分的順序；最后是確定積分上下限，即“定系、定序、定限”。完整經歷這三步之后，就可將二重積分轉化為了二次積分。

1 定系

“定系”是計算二重積分的第一步。坐標系選擇的合適與否，決定了二重積分計算的復雜程度。選擇坐標系的一般方法是：主要依據積分區域的形狀，有時也參照被積函數 （）的形式，具體見表1。

從表1中知：若積分區域為圓域、環域、扇域或環扇域，并且被積函數 （）的形式為 （）、 （） 或 （），這兩個條件同時滿足，這時，應選擇極坐標系，如例1。

例1：計算二重積分，

其中 = {（）∣1≤≤4}。

解： = =

但如果積分區域為圓域、環域、扇域或環扇域和被積函數 （）的形式為 （）、 （） 或 （）這兩個條件不同時滿足的情況下，又該如何選擇坐標系呢？如例2。

例2：計算二重積分（），其中是由直線 = ， = + ， = ， = 3（>0）所圍成的閉區域（見圖1）。

分析：本題從被積函數 （） = 看用極坐標系做要簡單些，但從積分區域的形狀看卻又以直角坐標系為宜，在二者不可兼得的情況下，應以積分區域的形狀來決定選用什么坐標系，本題選用直角坐標系來做。

解：（） = （）

= （ + ） = 14

2 定序

在確定二次積分的順序之前，要根據積分區域的特點來確定積分區域的類型。以直角坐標系為例，可將積分區域分為型區域和型區域。型區域所代表的二次積分的積分順序為先對積分后對積分，型區域所代表的二次積分的積分順序為先對積分后對積分。在具體運算中，針對型區域或型區域，是否一定按照其對應的積分順序進行呢？這里分以下三種情況加以說明。

第一，當積分區域既是型區域又是型區域時，可以先對積分后對積分，也可以先對積分后對積分。如例3。

例3：計算二重積分，其中是由直線 = 1， = 和 = 2所圍成的閉區域（見圖2）。

第二，當積分區域既是型區域又是型區域時，有時需要考慮計算的復雜程度，以此來選擇積分區域的類型，從而確定二次積分的積分順序。如第一部分中的例2。

例2：計算二重積分（），其中是由直線 = ， = + ， = ， = 3（>0）所圍成的閉區域 （見圖1）。

解法一：將看作型區域：

第三，當積分區域既是型區域又是型區域時，有時需要根據被積函數的特點來選擇積分區域的類型，從而確定二次積分的積分順序。如例4。

例4：計算二重積分，其中是由直線 = ， = 1和 = 0所圍成的閉區域 （見圖3）。

分析：因為無法用初等函數表示，所以積分時必須考慮次序，將當作型區域處理，即按照先對積分后對積分的順序。

解： =

= · = · = （）

凡遇如下形式的積分：，，，，，，等等，因其結果不能用初等函數表示，因此要將其放在后面積分。

3 定限

確定二次積分的上下限是將二重積分轉化為二次積分的最后一步，同時也是一個難點。但如果掌握好了定限的四步曲（定限口訣），這個問題也就迎刃而解了。

定限口訣：“后積先定限（后積分變量的上下限均為常數），限內畫條線，先交下限寫，后交上限見。”

對直角坐標系而言，針對型區域，畫一條平行于軸且與軸正向同向的直線；針對型區域，畫一條平行于軸且與軸正向同向的直線。

對極坐標系而言（積分順序一般是“先后”），畫一條以極點為起點的射線。

下面通過兩個例子具體來說明如何運用定限口訣進行定限。

例4：計算二重積分，其中是由直線 = ， = 1和 = 0所圍成的閉區域。

通過上面的分析知：將當作型區域處理，即先對積分后對積分。第一步，后積先定限：

先定的上下限。

第二步，限內畫條線：在 = 0和 = 1之間畫一條平行于軸且與軸正向同向的直線（見圖4）。

第三步，先交下限寫：直線先與的邊界曲線 = 0相交，所以0取作x的積分下限。

第四步，后交上限見：直線后與的邊界曲線 = 相交，所以取作的積分上限。

至此，二次積分中積分變量和的上下限都已確定出來了，二重積分也就化為了直角坐標系下的二次積分。

例5：計算二重積分（），其中是由圓 = ， = 及直線 = 0， = 0所圍成的閉區域（見圖5）。

根據第一部分定系的一般方法，本題選用極坐標系，先對積分后對積分。

將四條邊界曲線的方程化為極坐標方程：

第一步，后積先定限：先定的上下限·。第二步，限內畫條線：在 = 和 = 之間畫一條以極點為起點的射線（見圖5）。第三步，先交下限寫：射線先與的邊界曲線 = 相交，所以取作的積分下限。第四步，后交上限見：射線后與的邊界曲線 = 相交，所以取作的積分上限。

至此，二次積分中積分變量和的上下限都已確定出來了，二重積分（）也就化為了極坐標系下的二次積分·。