別為減負忽視根與系數的關系

吳金梅　王斌

中圖分類號：G633.62 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0102-01

人教版實驗教科書把“根與系數的關系”用“觀察與猜想”的形式，安插在初三代數《一元二次方程》一章的后面，沒有練習題。而修改后的2009年3月第2版，只是將本內容改為選學內容，后面安排了兩個求方程兩根的和與積的練習題，還是未引起足夠的重視。調查發現，很多數學教師在處理這一內容時，也沒有引起必要的重視。我認為，這依然不可能動搖它與判別式是一元二次方程的兩個重要理論的地位。實際應用中，它們常常結伴而行，相互依賴。本文試舉幾例。

例1 “希望杯”（2009年）培訓題

當a<-1時，方程（a3+1）x2+（a2+1）x-（a+1）=0的根的情況（ ）。

（A）兩負根 （B）一正根一負根且負根的絕對值大

（C）一正根一負根且負根的絕對值小

（D）沒有實數根

（分析） 此題第一步要用△判別有無實根，再由根與系數的關系確定具體是什么樣的根。

解 當a<-1時，a3+1<0，a2+1>0，a+1<0

而△=（a2+1）2+4（a3+1）（a+1）>0，可知方程有兩個不相等的實數根，設方程的兩根為x1、x2，則x1·x2=-<0，表明方程的兩根為一正一負；

而x1+x2=->0，表明負根的絕對值小于正根，故選（C）。

例2 廣東省（2009年）中考試題匯

已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=8，求c的取值范圍。

集

（分析） 此題可根據根與系數的關系造出一個系數與c有關的新方程，再由△求出c的取值范圍。

解 由已知，得a+b=-c，ab=故可把a、b看作關于X的方程x2+cx+=0的兩個實數根，所以△=c2-≥0，即c<0或解得c<0或c≥23。

例3 黃岡市初中數學（2009年）中考題

已知菱形ABCD的邊長為13，對角線AC、BD相交于點0，且OA、OB的長分別是關于x的方程x2-（k-1）x+3（k+2）=0的兩個實數根。

求（1）K的值；（2）OA、OB的長；（3）Rt△OAB斜邊的高。

（分析） 解此題的關鍵是確定K的值，它既要△≥0，又要使方程的兩根符號實際情況。而OA、OB既是方程的兩根，又是直角三角形的兩直角邊。由OA、OB作為橋梁把所有的關系串聯起來便可求出K的值。

解 （1）由菱形的性質，得OA2+OB2=132，則（OA+OB）2-2OA·OB=169，由根與系數的關系可知：OA+OB=K-1，OA·OB=3（K+2），所以（K-2）2-6（K+2）=169，解得K=18或K=-10。

經檢驗： K=18或K=-10都能使△≥0，但是當K=-10時，OA+OB<0，OA·OB<0，不符合實際，故取K=18。

（2）把K=18代入原方程，可求出符合題意的OA、OB的長分別為12和5。

（3）應用面積法這種簡便方法求得Rt△OAB斜邊上的高為。

例4 四平市初中數學（2009年）中考試題

已知方程x2+（2t+1）x+（t2+2t+1）=0有兩實數根 、 ，求 2+ 2的最小值。

（分析） 此題的解答過程，實際上是判別式和根與系數的關系的綜合應用。因為 、 既涉及到判別式，又是根與系數關系的載體。

解 由已知，得△=（2t+1）2-4（t2+2t+1）≥0，解得t≤-，

又 2+ 2=（ + ）2- =2t2-1

因為t≤-，所以當t=-時， 2+ 2有最小值。

因此說，根與系數的關系在實際應用中和判別式同樣重要，都是各類數學競賽和水平測試的不可或缺的考察內容，應該引起我們在教學中的足夠重視。同時，我們建議人教版實驗教科書修訂時在初三代數《一元二次方程》這一章里，把根與系數的關系和判別式擺在同樣的位置上，改為課時教學內容，并在后面安排適當的練習題目。