分類討論思想在高考數學綜合題中的應用研究

姬梁飛

摘 要 本文采用縱橫比較分析方法，展示了各個省市高考數學試卷中蘊含有分類思想這類綜合題的整體分布情況。探究分類討論思想在高考數學綜合題中的應用規律以及思路，并對高中數學教學給出了一些有益的建議。

關鍵詞 分類討論 思想方法 高考數學 綜合題

中圖分類號：G633.66 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0045-03

美籍數學家波利亞曾認為，“數學的解題能力是一種很好的培養人的數學思維的途徑。”作為擔負我國選拔人才平臺中最主要方式的高考，自1978年開始恢復高考至今，她已經走過了36個春秋。研究高考的命題規律對探索國家人才培養策略以及改進高中數學教學都有著重大的現實意義。數學家克萊因先生曾說過：“數學它是一種精神，一種理性的精神，然而正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，它試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；它試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經獲得知識的最深刻的和最完美的內涵。”數學精神主要有數學求真精神、數學理性精神、數學創新精神、數學獨立思考精神等，數學思想正體現著數學精神，它包涵大膽而智巧的想象、豐富而奇特的直覺、奧妙而嚴謹的構思，縝密而嚴肅的推理，它結合具體的數學方法一起構成了數學的思維特質。作為數學基本思想方法之一的分類討論思想方法，它不僅是數學思想的重要組成部分，而且還是一種邏輯性的解題方法。與此同時，高考數學試題中的綜合題歷年來都是高考命題中的最后堡壘，它也是每年高考時段廣大師生談論最多的焦點題目，故此，分類討論思想方法在高考數學綜合題中扮演一個重要的角色，又擔負著培育新時代人才的職責與使命。

一、縱向比較分析

本研究通過縱向比較，分析了北京市2003年至2014年、上海市2010年至2014年、廣東省2007年至2014年以及新課程標準卷2007年至2014年等共34套高考數學試卷的綜合題情況。現將這34套高考數學卷中蘊含有分類討論思想方法的綜合題目所考查的知識點情況分別列表如下：

【結果分析】 通過對這些試卷所涉及的考點進行調查研究分析，分類討論思想方法在歷年來的各省市的數學試卷中都有所體現，主要滲透于圓錐曲線、不等式證明、函數性質、綜合數列、實際問題、新定義探索等板塊知識應用過程中，尤其在綜合研究函數的性質特征與圓錐曲線方面的應用最為明顯。

二、橫向比較分析

本研究通過橫向比較，分析了2013年全國各省市高考數學16套試卷以及2014年全國各省市高考數學15套試卷所涉及分類討論思想方法應用的綜合題分布情況，這些綜合題的解答過程基本上都需要應用分類討論思想方法才能完成題目。按照分類討論思想方法在高中數學各個知識點中的應用情況，現在將這些蘊含分類討論思想方法的綜合題目所考查的知識情況分別展示如下：

2013年全國各省市高考數學涉及分類討論思想方法運用的綜合題分布情況

【統計分析】 統計結果表明，在2013年與2014年全國10多種不同的高考數學卷的綜合題中，每一套數學試卷中至少有一道題目考查了分類思想方法的運用，甚至某些省份高考數學試卷中有多達到三道綜合題目都涉及分類討論思想方法的應用。一方面，這些綜合題目多集中于整套試卷的尾部，難度一般都處于中檔以上，這類試題也通常作為整套數學試卷中區分度最高的試題，因此這類試題無疑成了歷年高考數學試卷壓軸部分的常備主力軍。另一方面，這些數據表明了分類討論思想方法滲透的知識點多集中于不等式證明、綜合數列、圓錐曲線以及函數性質研究，尤其在考查函數綜合性質特征等方面運算量之多、思維力度之深、討論范圍之寬都往往是其它題目無法比擬的，同時對于高考這樣一個大型選拔性考試，它幾乎是每年高考數學都要必考的一個項目。

三、結束語

分類討論思想方法是中學數學基本思想方法的重要組成部分，在中學數學教學中占據著不同尋常的地位，在教材中也能夠隨處見到分類思想的各種運用。它不僅是數學教學中的重點、難點，也是多年來高考數學中常考、必考的內容。它不僅是一種重要的數學思想方法，同時也是一種重要的解題策略。近年來，在全國各省市高考數學試卷中滲透有分類討論思想方法的試題也是逐漸增多，尤其體現在分類討論思想方法在高考數學綜合題中考查與應用。這些綜合題一般都是命題者精心設計、構思巧妙的好題，其試題往往新穎獨特，對學生思維的抽象性、邏輯性以及學生綜合理解能力、自學能力等方面都提出了更高的要求。分類討論思想方法為高考數學提供了思維的練兵場，成為考查學生處理復雜問題能力的試金石。最主要的是高考題要考查學生處理復雜多變問題、解決現實模型等綜合能力，這就需要有一個比較公平同時又具有區分度的載體，與此同時分類討論思想方法正是提高學生數學素養的一個重要法寶，也是考查學生對未來數學學習潛能的一個良好途徑。

因此，一方面如何引導學生觀察、發現引起分類討論的原因，如何通過分析、學會化整為零、各個擊破，恰如其分地正確運用分類思想，這將是每一個高中數學教師都需要面臨的一個重要問題。數學教師需要通過多角度的案例教學進行培養學生這方面的能力與素質，這也是數學教育勢在必行的一項任務。教師可以從理論與實踐兩方面加強對學生這方面能力的培養與提升。教師也可以從身邊教學實踐出發，結合教學經驗或教學智慧，找到培養與滲透分類思想方法的一些辦法。另一方面，分類討論思想方法對培養學生思維的條理性與縝密性，在提高學生全面分析與解決問題能力等方面都起到了十分關鍵的作用。所以，在高考數學綜合題中滲透的分類討論思想方法是考試中培養學生的嚴謹精神，開辟出能夠增長學生科學、合理解決問題本領的一條有效途徑。然而，通過調查發現，許多學生對這一種思想方法的掌握情況并不樂觀，甚至有些學生對分類討論思想方法抱有一種恐懼的心理。正因如此，在新課程改革的背景下大力改進分類討論思想方法的相關教學更有著密切的現實意義。

高考數學綜合題是試卷的精華部分，這些題目命制的宗旨也是為了國家選拔優秀人才的需要。高考數學綜合題在命制過程中往往蘊含著深刻的數學思維方法，而且試題本身也往往具有一定的深刻性與迷惑性。它是區分學生解題思維能力水平、保證高考試題區分度的一個重要體現。因此，高考數學綜合題里面蘊含著許多分類討論思想方法，其在解答試題的過程中常常是精深奧妙的，試題命制技巧也是匠心獨具。無論是這些分類討論思想方法的具體應用，還是試題本身的解題技巧都值得教師深入的研究。故此，本文建議教師認真領會分類討論思想方法以及在綜合題中命制思想與技巧，或者通過逆向工程法剖析高考專家組精心命制的試題，從中領悟那些試題背后隱藏的深意，以期改進自身的教學。

參考文獻：

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[2]（美）莫里斯.克萊因，張祖貴等譯.西方文化中的數學[M].上海：復旦大學出版社，2005：98-99.

[3]基礎教育課程改革綱要[EB/OL].（2001_6—8） [2011—6—5].http：//baike.baidu.com/view/1265891.htm#1.

（責任編輯 楚云鵬）