淺談初中幾何證明的教學

吳東穎

摘 要 初中階段的學生剛接觸幾何證明大多數(shù)學生就算背得定理也不會用，或解決問題時找不到思路，或找到思路不會書寫，本文針對這樣的問題結(jié)合多年教學經(jīng)驗從幾何定理的理解、記憶、應用及書寫等方面提出了一些初中幾何證明教學中的具體做法。

關(guān)鍵詞 思維 幾何證明 邏輯語言 理解記憶

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0027-02

數(shù)學是思維的體操，數(shù)學教育離不開思維。戰(zhàn)斗在教學一線的數(shù)學教師都知道初中階段的學生剛接觸幾何證明大多數(shù)學生就算背得定理也不會用，或解決問題時找不到思路，或找到思路不會書寫，要學好幾何證明題，關(guān)鍵是順利闖過幾何證明題入門這一關(guān)。如果能把握好了這一步，就可以順利地進行幾何這門學科的學習。

一、幾何定理的理解、記憶、應用

多數(shù)學生記憶幾何定理都是死記硬背，就算背下來了也很容易混淆、容易遺忘，而且不會使用，如：平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的性質(zhì)、判定，就非常容易混淆，所以光憑死記硬背是不行的，針對這種情況本人在幾何定理教學時堅持每一個定理都講清由來，解釋意思，配合圖形并轉(zhuǎn)化為邏輯語言。理解是記憶、應用的基礎，只有理解了才能記得清、不混淆、記得牢，沒有理解的定理更是談不上應用的，當然記憶當中沒有的定理也不可能會想到去用它。為幫助學生理解、記憶、應用定理，在教學中本人堅持每個定理都做到定理、圖、邏輯語言配套教學，學生配套記憶。

下面本人以“線段的垂直平分線性質(zhì)定理”的教學為例說明具體做法

1.幫助學生理解并記住定理。

（1）突破文字語言的理解記憶：

“線段的垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。”

①將定理分解出條件與結(jié)論，條件是：線段垂直平分線線上的點、點到這條線段兩端點的距離。結(jié)論是：距離相等。

②將定理分層次理解，分層方式如下：

如此理解學生記憶時就可以將定理記作“點到點的距離相等”再聯(lián)系記憶其中的“點”“點”“距離”分別是什么。這樣學生就能理解并記住定理的文字敘述。

（2）將定理由文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言理解記憶：根據(jù)定理作圖如下：①作線段AB；②作線段AB的垂直平分線MN交AB于點O；③在直線MN上任取一點P，連接PA、PB。在這步教學時就要強調(diào)幾何語言的規(guī)范使用，養(yǎng)成規(guī)范使用幾何語言的好習慣，那么以后準確理解幾何語言的意思就不難了。

（3）將定理由文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言理解記憶：結(jié)合上圖，角平分線的性質(zhì)定理可轉(zhuǎn)化為如下符號語言：

∵MN是線段AB的垂直平分線

∴PA=PB（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）

如此將定理的文字語言、圖形語言、符號語言三者結(jié)合起來記憶，就可以理解并牢牢的記住定理了。圖形直觀，看到類似的圖形就能聯(lián)想到這條定理；文字敘述方便記憶，邏輯語言片段為書寫證明過程提供“好詞好句”。

2.應用定理解決問題難關(guān)有2個：①找不到解題的思路；②有思路但不能正確完整的用邏輯語言呈現(xiàn)。

（1）對第①個難關(guān)的解決辦法：首先要讀懂題目，讀題目要分粗讀和細讀，至少讀兩遍，剛開始或復雜的問題需要讀三遍。第一步：先粗讀一遍題目了解題目的大致意思，初步了解題目中已知告訴了什么，要求或求證什么；第二步：第二遍細讀題目，細讀時要對照圖形做到讀題目時每一句話都要理解意思并聯(lián)系所有有關(guān)定義、性質(zhì)、定理，利用綜合法將所有能得到的結(jié)論呈現(xiàn)出來，簡潔的標注在圖上或?qū)懺诓莞迳希x到結(jié)論時同樣簡潔的標注在圖上或?qū)懺诓莞迳希坏谌剑涸偌氉x題目，結(jié)合第二遍細讀時將所得到的結(jié)論互相聯(lián)系、結(jié)合，看是否又能聯(lián)系什么定理，推理進一步得到結(jié)論（即用“綜合法”分析問題尋找思路）。再讀到結(jié)論時利用“分析法”逆向思維，根據(jù)哪些定理可以得到這樣的結(jié)論，一步一步逆向推理，尋找已知中能得到的條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)。通常我們都需要“綜合法”“分析法”兩種方法結(jié)合使用“兩頭湊"來將思路貫通。第三步細讀題目的主要目的是將前面得到的條件與結(jié)論進行聯(lián)系融會貫通思路。是一個整理思路的過程，也是解決問題的關(guān)鍵，前面的兩遍都是為第三遍打基礎。遇到將前面得到的條件與結(jié)論進行聯(lián)系還是不能融會貫通思路時就需要再讀題目看是否有隱含的條件被遺漏導致找不到思路。在問題簡單或運用熟練的情況下第二步與第三步可以合并為一步完成，第二步與第三步并不是嚴格分開的。

本人以下題為例詳細說明具體做法：

如圖：已知P是∠AOB平分線上一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D，求證：①∠PCD=∠PDC；②OP是CD的垂直平分線。 （注七年級練習）

第一遍粗讀題目 ，初步了解題目中已知兩個條件①OP平分∠AOB，OP是角平分線；②PC⊥OA，PD⊥OB，有兩個直角；要求證兩個結(jié)論①∠PCD=∠PDC，兩角相等；②OP是CD的垂直平分線，即垂直又平分線，也即有直角同時交點也是中點。

第二遍細讀題目：對照圖形讀題目，讀到點P是∠PDC平分線上的一點，要想到角平分線定義與角平分線性質(zhì)定理，可以得到

∵點P是∠AOB平分線上一點

∴∠AOP=∠BOP=∠AOB

并將可得結(jié)論標注在圖上

讀到PC⊥OA、PD⊥OB，垂足為C、D，想到垂直定義及與角平分線結(jié)合又有角平分線性質(zhì)定理，于是有：

①∵PC⊥OA、PD⊥OB

∴∠PCA=∠PDB=90O（垂直定義）

②∵點P是∠AOB平分線上一點

又∵ PC⊥OA，PD⊥OB

∴PC=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

再讀到求證∠PCD=∠PDC，想到可以推得兩角相等的定理有等腰三角形的兩底角相等和全等三角形對應角相等，與已知可得的條件結(jié)合發(fā)現(xiàn)PC=PD，⊿PDC是等腰三角形于是第①問的已知與求證取得了聯(lián)系思路完成。

繼續(xù)讀題目，②OP是CD的垂直平分線，想到證明垂直平分線的根據(jù)目前只有定義（垂直一條線段并平分這條線段的直線就是這條線段的垂直平分線）根據(jù)定義，需要證明OP⊥CD或PE是⊿PCD中CD邊上的高，即∠PEC=90埃暗鉋是CD的中點或CE=DE或PE是⊿PCD中CD邊上的中線，想到PE是⊿PCD中CD邊上的中線、PE是⊿PCD中CD邊上的高再與前面得到的⊿PCD是等腰三角形就想到了等腰三角形三線合一，于是需要證明PO平分∠CPD即∠CPO=∠DPO，可通過證明三角形全等得到對應角相等，那么包含∠DPE與∠CPE的三角形有⊿CPO與⊿DPO或⊿CPE與⊿DPE，結(jié)合圖形中標注的條件發(fā)現(xiàn)⊿CPO與⊿DPO是直角三角形有PC=PD、PO=PO，滿足 “HL" 即可得到三角形全等到這思路就全部暢通。

（2）解決難關(guān)②，第一步：整理思路擬出大綱，第二步：根據(jù)大綱細化邏輯語言。

第一步：整理思路擬出大綱：第①問：

二、書寫問題

數(shù)學中推理證明的書寫格式有許多種，但最基本的是演繹法，也就是從已知條件出發(fā)，根據(jù)已經(jīng)學過的數(shù)學概念、公理、定理等知識，順著推理，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步地推出求證的結(jié)論來。這種證題格式一般叫“演繹法”，課本上的定理證明，例題的證明，多數(shù)是采用這種格式。它的書寫形式表達常用語言是“因為……所以……”特別是一開始學習幾何證明，首先要掌握好這種推理格式，做到規(guī)范化。我們書寫證明過程時每一個定理的邏輯語言都是一個個小片段，象寫作文時引用好詞好句再用一些自己是話連接起來一樣，寫證明過程也是先根據(jù)思路將用到的定理的邏輯語言片段拼湊起來，再進行整理順序、修補缺漏，就像寫作文需要打草稿再進行修改一樣。長期堅持這樣做由簡單的書寫入手，就能夠讓學生學會書寫。