二次型

譚亞茹

摘 要 二次型是高等代數的重要組成部分，本文從二次型的定義出發，介紹了二次型的表示方法，然后介紹了如何用配方法、初等變換法、正交變換法等將二次型化為標準形，以及二次型的規范形，最后介紹了正定二次型和判定正定二次型的方法。

關鍵詞 二次型 標準形 規范形 正定矩陣

中圖分類號：O156.6 ?文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.01.027

Quadratic Forms

TAN Yaru

（School of Science， Nantong University， Nantong， Jiangsu 226007）

Abstract The quadratic Higher Algebra is an important part of this paper， the definition of quadratic forms， introduces the second type of representation， and then describes how to use the allocation method， elementary transformation， orthogonal transformation method， etc. II second type into the standard form， and the second type of normal form， finally introduced positive definite quadratic form and method for determining positive definite quadratic form.

Key words quadratic forms; standard form; normal form; positive definite matrix

1 二次型的定義

1.1 二次型的定義

設是數域，，，…，是個文字，則元二次齊次多項式 （，，…，） = ?+ 2 + 2 + … + 2 + ?+ 2 + … + 2 + … + ?= ?稱為數域上一個元二次型，其中。若為實數，則稱為實二次型。若為復數，則稱為復二次型。若二次型中只含有，，…，的平方項，即 （，，…，） = ?+ ?+ … + 則稱 為標準形。

設，，…，與，，…，是兩組文字，且可以表示成 = ，稱其是由，，…，到，，…，的一個線性替換。當可逆且| |≠0時，稱為一個非退化線性替換。

若二次型 （，，…，）通過非退化線性替換 = 化為二次型（，，…，），則稱二次型（，，…，）與 （，，…，）等價。

1.2二次型的矩陣表示

1.2.1 二次型的秩

二次型 可由 = 唯一表示，其中 = （，，…，）'，=為對稱矩陣，則稱 = 為二次型的矩陣形式，稱為二次型的矩陣，且都為對稱矩陣，稱的秩為二次型 的秩。

1.2.2 矩陣的合同

設、是階方陣，若存在可逆陣，使得 = ，則稱與合同。

設 （，，…，） = ， 與是兩個元二次型，則 與等價的充分必要條件是與合同，（，，…，） = 。

2 標準形

2.1 化二次型為標準形

定理：①數域上任意一個二次型都可以經過非退化的線性替換變成平方和 + ?+ … + 的形式。

2.1.1 配方法

若二次型中至少含有一個平方項，我們不妨設≠0，則對所有含有的項進行配方，直到每一項全都包含在完全平方項中，引入另一組新變量，，…，，由 = ，得 = ?+ ?+ … + 。

若二次型中不含平方項，不妨設≠0，則令 = ?+ ， ?= ， ?= ，…， = ，經坐標變換，二次型中出現時，再按上一種情形實行配方法。

2.1.2 初等變換法

二次型 = 經過非退化線性替換 = 化為標準形，相當于對矩陣找到一個可逆矩陣，使得 = 為對角矩陣，由于可逆矩陣可寫成若干個初等矩陣乘積，即 = …，從而… = ， … = 。

2.1.3正交變換法

用正交變換法將二次型化為標準形的步驟如下：（1）將二次型表示成矩陣的形式;（2）求矩陣的特征值以及相應的特征向量;（3）若所求特征值有重根，對相應的特征向量要進行Schmide正交化;（4）將特征向量單位化，化為…;（5）構造正交矩陣 = （…）;（6）令 = ，則可得 = ?+ ?+ … + 。

2.2 二次型的規范形

2.2.1 復二次型的規范形

任一元復二次型 = 都可以通過非退化線性替換化為 + ?+ … + ，稱此標準形式 的規范形，其中 = ，規范形是唯一的。

元復二次型 與等價的充分必要條件是它們有相同的秩。

2.2.2實二次型的規范形

任一元實二次型 = 都可以通過非退化線性替換 = 化為 + ?+ … + …，此標準形稱為實二次型的規范形且 = ，規范形是唯一的，即唯一。

實元二次型的規范形 + ?+ … + …中稱為此二次型的正慣性指數，r-稱為此二次型的負慣性指數。正慣性指數與負慣性指數的差稱為此二次型的符號差。

兩個元實二次型等價H#它們有相同秩與正慣性指數，即兩個階實對稱矩陣合同。

3 正定二次型

3.1 正定二次型的定義

設 （，，…，） = 是一實二次型，對于任意一組不全為零的實數，，…，，如果 （，，…，）恒大于零，那么 （，，…，）為正定的;如果都有 （，，…，）恒小于零，那么 = 為負定的;如果 （，，…，）恒大于或等于零，那么 （，，…，）為半正定的;如果都有 （，，…，）小于等于零，那么 （，，…，）為半負定的;如果 （，，…，）既不半正定又不半負定，那么 （，，…，）為不定的。

非退化線性替換不改變實二次型的正定性。

3.2 二次型正定性的判定

3.2.1 順序主子式法

例1② 考慮二次型 = ?+ 4 + 4 + 22 + 4，問為何值時，為正定二次型。

解：二次型的矩陣，的順序主子式 = 1>0;

由二次型 正定的充分必要條件>0，>0， = >0得<<2;由 = >0，可得<<1，所以，當<<1時，正定。

3.2.2 特征值法

若一個二次型正定，則它對應二次型矩陣的特征值全大于零。

例2 已知是階正定矩陣，證明為正定矩陣。

證明：由正定知是實對稱矩陣，從而 = ?= ，即也是實對稱矩陣。設有特征值（ = 1，2，…，），則的特征值為（ = 1，2，…，），而的特征值為1（ = 1，2，…，），因為是正定矩陣，所以，>0，從而<1，故1>0（ = 1，2，…，）。即，的特征值全大于零，故為正定矩陣。

4 結束語

二次型是高等代數的重要組成部分，它的理論起源于幾何學中二次曲線方程與二次曲面方程。二次型理論與域的特征有關，當前二次型的理論不僅在幾何方面而且在數學的其他分支包括物理、力學、工程技術中也常常涉及。 化二次型為標準形的方法有很多種，文中共給出了三種化二次型為標準形的方法，但這只是較為常用的方法，除此之外還有偏導數法和雅可比法，這就需要我們在學習的過程中，善于發現知識間的聯系并及時加以總結。遇到問題時要根據二次型的特征，選擇較為簡便的方法，這樣才能夠提高我們的解題效率。

注釋

① 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.高等代數（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

② 李師正.高等代數解題方法與技巧[M].北京：高等教育出版社，2004.