在變式探究中看清本源

翁華木

例 已知數列[an]中，[a1=45，]

[]則[a2016]等于（ ）

A. [45] B. [35]

C. [25] D. [15]

這是一道以分段形式給出遞推關系為命題背景的考查數列求值的問題，常規的數列遞推式問題的求解思路是先探求其通項公式，再求值. 為了弄清數列的遞推關系，我們不妨先求出此數列的前若干項，看清數列通項所呈現的規律，再去尋求數列的通項公式.

[在嘗試中尋求解題方法]

解析 依題意知，當[a1=45]時，[a2=2×45-1=35.]

當[a2=35]時，[a3=2×35-1=15.]

當[a3=15]時，[a4=2×15=25.]

當[a4=25]時，[a5=2×25=45.]

所以數列[an]的周期為4，于是[a2016=a4×504=a4=25.]

答案 C

分析上面的求解過程，我們避開了數列求值題先探求數列的通項公式，再代值求解目標項的常規方法. 而是通過特值先求出數列的前若干項，再觀察前若干項呈現的規律，得到這些項具有周期性，進而類比函數的周期性，得出數列[an]的周期變化規律，求出了目標項，實現了“小題巧做”的目的.

[在變式中展開命題探究]

數列是一類特殊的定義在正整數集上的函數，上面問題的求解，借助研究函數性質的方法，得出數列遞推關系具有周期性，從而類比函數的周期性，從另一種思路得出了問題的答案. 順著數列遞推關系的周期性研究，我們給出如下變式.

變式1 若數列[an]滿足：存在正整數[T]，對于任意的正整數[n]都有[an+T=an]成立，則稱數列[an]為周期數列. 已知數列[an]滿足[a1=m（m>0），][an+1=an-1，an>1，1an，0（1）當[m=23]時，[a5=] ；

（2）若[a3=4]，則[m]的所有取值之積為 .

解析 （1）[m=23]時，[a1=23，][a2=1a1=32，][a3=a2-1][=12，][a4=1a3=2，][a5=a4-1=1].

（2）[a1=m（m>0），]進行以下推算：若[1