概率與統計典例及其變式探究

劉族剛　寇玉琴

[概率事件]

例[1] 如圖1，并聯電路中元件[a，b]在某段時間內接通的概率分別為[p1，p2，]且元件[a，b]接通與否互不影響，求此并聯電路接通的概率.

解析 設在某段時間內元件[a，b]接通的事件分別為[A，B，]因為元件[a，b]接通與否互不影響，所以[A，B]相互獨立，且[P（A）=p1，P（B）=p2].

方法一：（利用互斥事件解題）此并聯電路要被接通，則元件[a，b]至少一個接通，則此電路被接通的事件為[A?B+A?B+A?B.]

由于[A?B，A?B，A?B]互斥，

則[P（A?B+A?B+A?B）][=P（A?B）][+P（A?B）+P（A?B）]

[=P（A）P（B）+P（A）P（B）+P（A）P（B）]

[=p1（1-p2）+（1-p2）p1+p1p2][=p1+p2-p1p2].

方法二：（利用和事件解題）此并聯電路要被接通，則元件[a]通或元件[b]通，故此并聯電路被接通的事件為[A+B，]則[P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A?B）=P（A）+P（B）-P（A）?][P（B）][=p1+p2-p1p2].

方法三：（利用對立事件解題）此并聯電路被斷開的事件為[A?B]，由于[A，B]相互獨立，則[A，B]也相互獨立，從而此并聯電路被接通的概率為[1-P（A?B）=1-P（A）?P（B）][=1-（1-p1）（1-p2）=p1+p2-p1p2.]

點撥 本題三種解法體現了集合“容斥原理”“互斥事件”“和事件”等知識的交融. 從結構化的角度看“集合”“簡易邏輯”與“概率”，三者在概念、運算及其性質等方面有一定的對應關系. 研究它們之間的聯系，有益于我們從不同角度觀察數學的各個模塊或分支，深化對數學知識的認知.

變式1 用[2n]個相同的元件組成一個系統，按先串聯后并聯（如圖2）的方式連接，如果每個元件能否正常工作是相互獨立的，且每個元件能正常工作的概率為[p].求此系統正常工作的概率[P].

解析 [n]個相同元件串聯構成的“子系統”正常工作時必須每一個元件都正常，故此“子系統”正常工作的概率為[pn.] 由此可知，由兩個這樣的“子系統”并聯組成的該系統正常工作的概率為[P=1-（1-pn）2=2pn-p2n].

變式2 用[2n]個相同的元件組成一個系統，按先并聯后串聯（如圖3）的方式連接，如果每個元件能否正常工作是相互獨立的，且每個元件能正常工作的概率為[p]. 求此系統正常工作的概率[P].

解析 由例1知，兩個元件并聯構成的“子系統”能正常工作的概率為[1-（1-p）2=2p-p2][=p（2-p）]，所以[n]個這樣的“子系統”串聯組成的該系統正常工作的概率為[P=[p（2-p）]n].

點撥 將[n]個元件串聯而成的子系統分別當作例1中的元件[a，b]就成了變式1. 因此，變式1是例1的引申，而變式2則是例1的應用.

[概率模型]

例2 給定正數[6]，然后隨意寫出兩個小于[6]的正整數（這兩個數可以相等），求這兩個數與[6]一起能構成銳角三角形的概率.

分析 從[1，2，3，4，5]中取出的兩個數可以相等，故這是一個有放回的抽樣，“隨意寫出”說明事件是等可能的，故本題是一個“古典概型”.

解 設取出的兩個數為[（m，n），]則[m，n∈1，2，3，4，5]，共有[5×5=25]種取法，即[（1，1）]，[（1，2）][（1，3）]，[（1，4）]，[（1，5）]，[（2，1）][（2，2）]，…，[（5，5）]，取到每一種的可能性相同，能夠構成銳角三角形的只有[（4，5）]，[（5，4）]，[（5，5）]三種，所以這兩個數與[6]一起能構成銳角三角形的概率為[P=325.]

變式1 給定正數[6]，然后隨意寫出兩個小于[6]的正實數（這兩個數可以相等），求這兩個數與[6]一起能構成銳角三角形的概率.

解析 設寫的兩個數為[x，y]，依題意知[x，y]要滿足[0而[x，y，6]能構成銳角三角形（其中[6]為最大的邊），應滿足的條件是[0