如何高效利用習題變式

裴樹峰　楊國輝

在數學中考復習中，切實提高復習的效率，夯實學生的基礎，培養學習數學的方法，提升綜合運用知識能力，是我們面臨中考前必須具備的各項本領.所以，在中考復習中要注重教材的知識內容，領悟教材的精髓，挖掘典例習題的精華思想，延伸思維，爭取收到事半功倍的效果.下面以2013年人教版教材的一道經典習題為例，與同學們一起交流有關中考復習的體會.

例1：（人教版數學教材八年級下冊第68頁綜合運用中的第8題）如圖1，ABCD是一個正方形花園，E、F是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么數量關系？為什么？

解答：兩條路等長，相等.

理由：如圖1，因為在正方形ABCD中，所以AB=AD.因為DE=CF，所以AE=DF.又因為正方形ABCD，所以∠ADC=∠BAD=90°.所以△ABE≌△DAF，所以AF=BE.

本題的考點是正方形的性質和全等三角形的性質.這些考點在最近兩年的各省市中考命題里應用是比較多的，本道題的關鍵是將正方形的性質和全等三角形的性質的知識應用于生活實際中.通過解答這道題我們要學會在審題的過程中進行思維轉化，快速抓住題目所給的有效信息.具體方法如下：

一、由靜態到動態，培養數學的運動變化思維

例2：在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動。

（1）如圖2，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關系，并說明理由；

（2）如圖3，當E、F分別移動到邊DC、CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）

（3）如圖4，當E、F分別在邊CD、BC的延長線上移動時，連接AE、DF，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；

（4）如圖5，當E、F分別在邊DC、CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.

解答：（1）AE=DF，AE⊥DF.先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（2）成立.四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，所以AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，即AE⊥DF.

（3）成立.由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G如圖4（1），再由等角的余角相等可得AE⊥DF.

（4）由于點P在運動中保持∠APD=90°如圖5

（1），所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設AD的中點為O，連接OC交弧于點P，此時CP的長度最小，再由勾股定理可得OC的長，再求CP即可.

本題的關鍵是將原來教材中重點的題變式演化而命制.屬于幾何圖形變換題型.此類型題的主要解題方法是抓住幾何圖形的變換特征，學會應用運動變化的角度解決問題，由靜態到動態，千萬別被“動”嚇到，其實它并不難.如題目中的“動點E，F分別從D，C兩點同時出發以相同的速度在直線DC，CB上移動”這關鍵的“題眼”，便明確了動點的運動路徑的不同情況，這種題型在近幾年的中考命題中考查比例很大.通過本題的訓練，重點學會以下幾點方法：

1.對教材的典型例題、習題進行多角度地變式，特別是變換圖形的條件、位置，進而培養靈活變化的思維.

2.通過探究幾何圖形的變換過程中的蘊藏的規律，讓自己真正體會幾何圖形的運動變化中的一靜一動的內在變化關系，切身經歷知識規律的探究過程，感受學習數學的快樂.

二、從特殊到一般，培養猜想探究問題的能力

例3：九年級數學興趣小組在學校的“數學長廊”中興奮地展示了他們小組探究發現的結果，內容如下：

（1）如圖6，正三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM=AN，連接BN、CM，發現BN=CM，且∠NOC=60°.

請證明：∠NOC=60°.

（2）如圖7，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、DM，那么AN= ，且∠DON= 度.

（3）如圖8，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM=BN，連接AN、EM，那么AN= ，且∠NOE= 度.

解題過程：

（1）根據已知條件可以證明△ABN≌△BCM，得∠ABN=∠BCM，進而得到∠NOC=60°；

（2）先證明△ABN≌△DAM，得AN=DM，∠ADM=∠BAN，最后得∠DON=90°.

（3）先證明△ABN≌△EAM，得AN=ME，再得∠AEM=∠BAN，最后得∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°.

本題的考點是等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、正多邊形的性質等知識.這些知識都是近幾年中考命題的重點.本題的關鍵是“正三角形、正方形、正五邊形……至正多邊形”的特殊到一般的數學思想的體現.增強了對幾何圖形的特殊到一般的探究猜想的 應用意識和能力.通過本題應該掌握“一個方法、一種思想”：

1.一個方法：變換圖形的形狀、拓展幾何圖形的寬度（橫向變化、縱向變化），是我們學習數學最常用的變式訓練的另一種方法。從中感受到幾何圖形的“動中有變，變中不變”，提高自己的思維探究意識.

2.一種思想：從特殊到一般的數學思想方法.對公式、定理、法則的學習往往都是從特殊開始，通過總結歸納得出來的，證明后，又使用它們來解決相關的數學問題.分析歷年的中考試題，考查特殊與一般的思想的題比比皆是，所以這類題型必然成為今后中考命題改革的方向，希望引起高度重視.

三、變式幾何題目背景，培養綜合應用能力

例4：正方形ABCD在如圖9所示的平面直角坐標系中，A在x軸正半軸上，D在y軸的負半軸上，AB交y軸正半軸于E，BC交x軸負半軸于F，OE=1，拋物線y=ax2+bx-4過A、D、F三點.

（1）求拋物線的解析式；

（3）在射線DB上是否存在動點P，在射線CB上是否存在動點H，使得AP⊥PH且AP=PH，若存在，請給予嚴格證明，若不存在，請說明理由.

解題過程：

（1）根據△OEA∽△ADO，D（0，-4），E（0，1）可求出A點的坐標，再根據Rt△ADE≌Rt△ABF可求出F點的坐標，把A，F兩點的坐標代入二次函數的解析式即可得出未知數的值，進而求出其解析式；

（3）先根據題意畫出圖形，根據圖形可看出，有三種情況符合題目條件：

圖①通過證明Rt△PQH≌Rt△ANP得到∠APN+∠HPQ=90°，進一步得到AP⊥PH，

圖②通過證明Rt△PMH≌Rt△PAN和PN∥BH得到∠HPA=∠NPA+∠HPN=∠MHP+∠HPM=90°，

圖③通過證明Rt△PNH≌Rt△PMA和PN∥AB，得到∠HPA=90°.

本題的考點是三角形相似的性質、全等三角形的性質、二次函數解析式等知識.本題的難點是將教材中的原來的典型習題經過新加工變式，變換了幾何圖形的新背景，將二次函數與幾何圖形的有機結合，使原來題目增加了難度和挑戰性，這勢必將成為將來中考命題的方向和趨勢.因此，強烈建議同學們在平時的學習過程中，一定要多從基礎知識基本技能著手，以基本的問題為著眼點，夯實基礎知識，學會積極探究、發現分析解決問題的方法，進而提升學習的能力，一定會提高我們的數學成績.

同學們，近幾年的中考命題一直推崇“源于課本，回歸課本，在教材中能找到中考題目的影子”的命題理念.所以在日常學習中，一定要認真學習教材，從而實現由注重知識過渡到注重能力.學會回歸教材，以便使我們在題海中把自己解救出來，在中考復習期間收獲頗豐，使中考數學成績得以提高.