初中數(shù)學(xué)探索規(guī)律技巧

王海瑞

我們觀看世界的不同角落，不同的物質(zhì)，不同的事物，都有它各自不同的形態(tài). 數(shù)量和形態(tài)是事物最基本的性質(zhì)，認(rèn)識事物常常要從研究數(shù)量和形態(tài)的規(guī)律開始.

探索規(guī)律問題是華師大版七年級上冊中第一章“走進數(shù)學(xué)世界”內(nèi)容的一部分，它讓學(xué)生初步體驗數(shù)學(xué)是一個充滿著觀察、實驗、歸納、類比和猜想的探索過程. 它能夠培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、歸納猜想的數(shù)學(xué)思維能力，提高對字母表示數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用能力. 怎樣有效地正確地探索數(shù)學(xué)規(guī)律問題？我們給出幾個具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論.解題的思路是實施特殊向一般的簡化；具體方法和步驟是（1）通過對幾個特例的分析，尋找規(guī)律并且歸納；（2）猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；（3）驗證或證明結(jié)論是否正確， 規(guī)律性問題主要有這樣幾類：數(shù)字類、計算類、圖形類.

一、數(shù)字類

數(shù)字類由以數(shù)列更為突出，數(shù)列問題大都和序列號有關(guān)聯(lián)，通過數(shù)字和序列號的對比，較容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 如：

1. 一數(shù)列2，4，6，8，10，…，按照這個規(guī)律第n個數(shù)是什么？（2n）

2. 一數(shù)列2，4，8，16，…，按照這個規(guī)律第n個數(shù)是什么？（2n）

3. 觀察下列各式數(shù)：0，3，8，15，24，…. 試按此規(guī)律寫出的第100個數(shù)是什么？（1002 - 1） ，第n個數(shù)是什么？（n2 - 1）.

數(shù)字找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列數(shù)，要求我們根據(jù)這些已知的數(shù)找出一般規(guī)律. 找出的規(guī)律，通常與序列號有關(guān). 所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律.

我們以例3為例，我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：

給出的數(shù)：0，3，8，15，24，….

序列號： 1，2，3， 4， 5，….

容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項，都等于它的序列號的平方減1. 因此，第n項是n2 - 1，第100項是1002 - 1.

二、計算類

計算類找規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式. 函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運算. 因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運算式子. 所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規(guī)律題的好途徑. 如：

4. 觀察下列等式：4 - 1 = 3，9 - 4 = 5，16 - 9 = 7，25 - 16 = 9，36 - 25 = 11，…，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n（n ≥ 1）表示了自然數(shù)，為什么用關(guān)于n的等式表示這個規(guī)律？

解析：通過觀察計算發(fā)現(xiàn)被減數(shù)4，9，16，25，36分別是2，3，4，5，6的平方；減數(shù)1，4，9，16，25分別是1，2，3，4，5的平方，而結(jié)果是從3開始的奇數(shù). 進而有22 - 12 = 3，32 - 22 = 5，42 - 32 = 7，…. 所以有（n + 1）2 - n2 = 2n + 1（n ≥ 1，n表示了自然數(shù)）

如：5.觀察下列等式：1 = 1，1 + 3 = 4，1 + 3 + 5， = 9，1 + 3 + 5 + 7 = 16，…，根據(jù)觀察可得：1 + 3 + 5 + … + 2n - 1 = 什么.（n 為正整數(shù)）

解析：觀察發(fā)現(xiàn)等號左邊都是奇數(shù)的和，右邊分別是1，2，3，4的平方，所以有1 + 3 + 5 + … + 2n - 1 = n2

三、圖形類

圖形類規(guī)律問題主要根據(jù)題目中所給圖形之間的變化關(guān)系尋找規(guī)律，通常能夠?qū)ふ页龆喾N不同的方法，教學(xué)過程中應(yīng)該最大程度的給學(xué)生談?wù)摰目臻g，發(fā)揮學(xué)生的想象力和協(xié)作能力. 如：

6. 用火柴棒按如圖方式搭正方形，然后思考下列小題：

搭1個正方形需要4根火柴棒.

（1）按上圖方式，搭2個正方形需要多少根火柴棒，搭3個正方形需要多少根火柴棒.

（2）搭10個這樣的正方形需要多少根火柴棒？

（3）搭100個這樣的正方形需要多少根火柴棒？你是怎樣得到的？

（4）如果用n表示所搭正方形的個數(shù)，那么搭n個這樣的正方形需要多少根火柴棒？與同伴進行交流.

（5）根據(jù)你的做法，搭200個這樣的正方形需要多少根火柴棒？

方法一：第1個正方形用了4根火柴棒；

第2個正方形用了4 + 3 × 1根火柴棒；

第3個正方形用了4 + 3 × 2根火柴棒；

第4個正方形用了4 + 3 × 3根火柴棒；

第5個正方形用了4 + 3 × 4根火柴棒；

……

第n個正方形用了4 + 3 × （n - 1）根火柴棒.

方法二：將n個正方形分成上邊、下邊和豎邊，其中上邊和下邊各用了n根火柴棒，豎邊用了n + 1根火柴棒，因此，可知搭n個正方形共用了n + n + （n + 1）根火柴棒.

方法三：把每個正方形都看成是由4根火柴棒搭成的，按照這種思路，從第2個正方形起，每個正方形都比實際多用了1根火柴棒，搭n個正方形就比實際多用了n - 1根火柴棒，所以，搭n個正方形實際用的火柴棒的數(shù)目應(yīng)該是4n -（n - 1）.

方法四：第1個正方形用了1 + 3 × 1根火柴棒；

第2個正方形用了1 + 3 × 2根火柴棒；

第3個正方形用了1 + 3 × 3根火柴棒；

第4個正方形用了1 + 3 × 4根火柴棒；

第5個正方形用了1 + 3 × 5根火柴棒；

……

第n個正方形用了1 + 3 × n根火柴棒.

解決這類問題，應(yīng)遵循從特殊到一般的原則，先觀察搭1個、2個、3個正方形各需火柴棒的根數(shù)，分析正方形個數(shù)與火柴棒根數(shù)之間的關(guān)系，然后找出規(guī)律.