導數在高中數學中的應用

馬麗娜

在中學數學中，有許多以高等數學知識為背景的問題，若用初等數學方法去解往往繁雜冗長，如果能認真研究問題的來龍去脈，適當利用相關知識，問題就會很容易得到解決，導數作為微積分的核心概念之一，進入高中新教材給傳統的中學數學內容注入了生機與活力，為中學數學問題的研究提供了新的平臺，拓寬了高考數學命題的空間.

下面結合具體實例從以下六個方面來說明導數在中學數學中的應用.

一、導數在解決函數問題中的應用

導數是研究函數的重要工具，借助導數對可導函數的單調性能進行透徹的分析，為求函數的極值、最值提供一種簡單快捷的方法.之前討論一些函數的性態如單調性、極值性、奇偶性、周期性等都受到方法的限制，討論得既不深刻也不全面，且計算煩瑣，也不易掌握其規律，導數為我們深刻全面地研究函數的性態提供了有力的數學工具.

（一）研究函數的單調性

導數的幾何意義是研究函數圖像曲線變化規律的一個重要工具，是判斷函數單調性的最優化的方法.

利用導數研究函數的單調性主要根據以下定理：若函數f（x）在區間I內可導，？坌x∈I若f′（x） < 0，則f（x）在此區間內為減函數；若f′（x） > 0，則f（x）在此區間內為增函數.

（二）求函數的最（極）值

中學數學教材的二次函數、三角函數和不等式內容都涉及求函數的極值、最大（小）值的問題，所用方法不外乎是函數在某一區間上單調性、三角函數的有界性，判別式法，二次函數的圖像，基本不等式以及由基本不等式推導出的重要不等式，但它們要求很高的處理技巧，對于很多函數極值問題都不能用上面的方法解決，有很大的局限性.若用導數來解則淡化技巧，學習了導數，函數極值和最值才算得到了徹底的解決.

費馬定理指出：若函數在x0可導，且x0是函數f（x）的極值點，則f′（x） = 0，即可導函數f（x）的極值點x0必是方程f′（x） = 0的根.費馬定理給出尋找可導函數極值點的范圍.即函數f（x）的極值點必在函數f（x）的穩定點的集合中，但穩定點又不一定都是極值點.通常我們可以按下法求已知函數f（x）的極值：

① 寫出f′（x），然后求使此導數為零的點；

② 應用第一判別法或第二判別法來驗證是否是極值點；可以用二階導數f″（x）來判斷.

區間I的最小值和最大值統稱為最值.求可導函數的最值可歸結為求可導函數在穩定點及區間端點函數值中的最值.生產實踐和科學實驗所遇到的最好、最省、最大、最小等問題都可以歸結為數學的最值問題.

（三）函數圖像的描繪

中學數學教材在介紹二次函數、冪函數、指數函數、三角函數等函數時通常用描點法作出函數的圖像.這種圖像一般是粗糙的，不一定能準確地反映曲線在一些點和區間上的性態.因為描點法所選取的點不可能很多，而一些關鍵性的點，如極值點、拐點等可能漏掉，曲線的單調性、凸凹性等一些重要的性態也沒有掌握.因此，用描點法所描繪的函數圖像常常與真實的函數圖像相差很多.

現在學習了導數及其應用后，就可以應用導數討論函數的單調性、極值性、凸凹性、拐點等的方法，從而比較準確地描繪函數圖像，一般來說描繪圖像可按下列的步驟進行：

（1）確定函數y = f（x）的定義域；

（2）觀察函數y = f（x）是否具有某些特征（奇偶性等）；

（3）觀察函數y = f（x）是否有垂直漸進線、斜漸進線，如果有漸進線將漸進線求出來；

（4）求出函數y = f（x）的單調區間、極值，列表；

（5）求出函數y = f（x）的凹凸區間和拐點，列表；

（6）確定一些特殊點，如曲線y = f（x）與坐標軸的交點，以及容易計算函數值f（x）的一些點（x，f（x））.

在直角坐標系中，首先標明所有關鍵性點的坐標，畫出漸進線，其次按照曲線的性態逐段描繪.

二、導數在求曲線的切線方程中的應用

導數的引入拓寬了解決解析幾何問題的思路，f′（x0）的幾何意義是曲線y = f（x）上點（x0，f′（x0）） 處切線的斜率，故可據此來研究與曲線切線相關的問題，同時解析幾何的許多最值問題也可以用導數來處理.

求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出切點P（x0，y0）及斜率，其求法為：設P（x0，y0）是曲線y = f（x）上的一點，則以P的切點的切線方程為：y - y0 = f′（x0）（x - x0）.若曲線y = f（x）在點P（x0，f（x0））的切線平行于y軸（即導數不存在）時，由切線定義知，切線方程為x = x0.

下面是四種常見的類型及解法.

類型一：已知切點，求曲線的切線方程

此類題較為簡單，只需求出曲線的導數f′（x），并代入點斜式方程即可.

類型二：已知斜率，求曲線的切線方程

此類題可利用斜率求出切點，再用點斜式方程加以解決.

類型三：已知過曲線上一點，求切線方程

過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法.

類型四：已知過曲線外一點，求切線方程

此類題可先設切點，再求切點，即用待定切點法來求解.

三、導數在研究方程根的分布中的應用

設函數f（x）在（a，b）上連續，f′（x）在（a，b）上保持符號，若f（a）f（b） < 0，則f（x） = 0在（a，b）上有唯一實根，若f（a）f（b） > 0，則f（x） = 0在（a，b）上無實根.

此結論可推廣到無窮區間的情形，即：設函數f（x）在（a，+∞）上連續，f′（x）在（a，+∞）上保持符號，若f（a）與 f（x）異號，則f（x） = 0在（a，+∞）上有唯一實根，若f（a）與 f（x）同號，則f（x） = 0在（a，+∞）上沒有實根，對于區間（-∞，a）的情形有類似結論.

讓我們以導數的概念為入口，以導數的計算為抓手，以導數的應用為核心，站在增強應用意識、培養創新精神的高度，從而使導數在中學數學學習中發揮出它應有的功用.