兩個關于Smarandache均值問題的研究

陳遠生

【摘要】 本文應用初等方法及解析方法對Smarandache中階乘數序列和n！的k次補數函數的均值問題分別進行了研究，并給出了一些相關的漸近公式.

【關鍵詞】 Smarandache；階乘數序列n！的k次補數函數；均值；漸近公式

引 言

數論是一門研究整數性質的學科，在數學中占有非常重要的地位，而數論問題中關于一些特殊序列及函數的均值性質的研究一直備受數論工作者和學者的關注. 長期以來，數論被人們認為是純數學理論，而沒有直接的實際應用價值，隨著計算機的產生與發展給科學技術帶來新變革的同時，數論也有了非常廣泛的用途，成為一門最為有用的數學分支. 本文應用初等方法及解析方法對數論的兩個均值問題進行了研究，給出了一些相關的漸近公式.

一、關于Smarandache階乘數序列的均值

在文獻[1]中， F.Smarandache教授要求我們研究階乘部分的性質. 關于這樣的問題，似乎很少有人研究，本節中我們將使用初等方法去研究階乘部分的均值性質，并給出了一個有趣的漸近公式，具體過程如下：

首先，對任意的x≥1及任意固定的正整數n > 2，令n！ ≤ x < （n + 1）！，我們對兩邊取對數得到

ln t ≤ ln x < ln t

我們取f（t） = ln t，得到

n ln n - n + O（1） ≤ ln x ≤ n ln x - n + ln n + O（1）

可得ln x = n ln n - n + O（ln n）. （1.1）

根據（1.1）式，我們有n = + + O（1）. 兩邊再次取對數，我們就能得到ln n = ln ln x + O（ln ln ln x）.因此，我們可得（1.2）式

n = + O = + O

另外，對于任意正整數，令F（n）表示的n下階乘部分. 設x ≥ 1，{a（n）}表示F（n）所構成的集合，

= = n = n（n + 1） =

+ O 2 + O （由（1.2）推得）

= + O

同理，用此方法還可以給出上階乘部分的結果，可知

當x ≥ 1，{a（n）}表示F（n）所構成的集合， 可得漸近公式：

= + O

二、關于n！的k次補數函數的均值

設k ≥ 2為任意的自然數且n為任意的正整數，若bk（n）是使得n·bk（n）為一……