談三角形內角與一外角角平分線夾角與頂角關系的求法

米雪 王立波

【摘要】 其實對于數學中的幾何問題，往往一道題總是存在一題多解的現象. 對于現在的初中教學，應當教會學生用一題多解的方法解決幾何問題，這樣不僅僅可以發散學生的數學思維，更能為以后的綜合分析數學問題打下良好的基礎. 所以我對任意三角形的一個內角與一個外角角平分線夾角度數的求法做一個一題多解的分析.

【關鍵詞】 內角角平分線；外角角平分線；夾角；一題多解

在復習課中引入一題多解，非常有利于學生上述能力的培養. 因為在復習課中，學生已具備一定的數學知識與技能，具有一定的分析、解決問題的能力. 通過一題多解，可以加深學生對題目的形式、組成元素以及題目隱含的邏輯（因果）關系的認識，從而培養學生的數學洞察力和推理能力，拓寬解題思路，提高解題的靈活性.

例 已知△ABC，BE是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，CE是△ABC外角∠ACD的角平分線，BG是△ABC外角∠HBC的角平分線，CG是△ABC外角∠ICB的平分線，求平分線夾角∠BFC，∠E，∠BGC與頂角∠A的度數關系.

方法一：常規求法

因為要探究三角形內角角平分線與內角角平分線的夾角、內角角平分線與外角角平分線夾角、外角角平分線與外角角平分線夾角與頂角的關系，也就是要用頂角表示這幾個夾角，就要把它們用相關的角聯系起來，這樣就可以經過推導得到我們要的所求，就導出了角平分線夾角與頂角之間的關系.

（1）∠BFC = 90° + ∠A

理由：

∵ BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴ ∠FBC = ∠ABC，

∠FCB = ∠ACB.

∵ 在△FBC中，∠BFC = 180° - （∠FBC + ∠FCB），

∴ ∠BFC = 180° - （ ∠ABC + ∠ACB）

= 180° - （∠ABC + ∠ACB）

= 180° - （180° - ∠A）

= 180° - 90° + ∠A

= 90° + ∠A.

（2）∠E = ∠A

理由：

∵ BF平分∠ABC，CE平分∠ACD，

∴ ∠FBC = ∠ABC，∠ACE = ∠ACD，

∵在△BCE中，∠E = ∠ECD - ∠FBC，

∴ ∠E = ∠ACD - ∠ABC

= （∠ACD-∠ABC）

= ∠A.

（3）∠BGC = 90° - ∠A

理由：

∵BG平分∠HBC，CG平分∠ICB，

∴∠GBC = ∠HBC，∠GCB = ∠ICB.

∵在△BGC中，∠G = 180° - （∠GBC + ∠GCB），

∴∠G = 180° - （ ∠HBC + ∠ICB）

= 180° - （∠HBC + ∠ICB）

= 180° - [（180° - ∠ABC） + （180°-∠ACB）]

= 180° - [360° - （∠ABC + ∠ACB）]

= 180° - （360° - 180° + ∠A）

= 90° - ∠A.

普遍的方法推導起來，學生接受得比較慢，而且理解起來也很難，再次出現類型題時，學生還是一頭霧水找不到頭緒，而我采用下列方法講過之后，感覺學生在理解上有了明顯的進步，而且應用起來也靈活自如.

方法二：簡便求解

由普通方法推導出∠E與頂角∠A的關系：

∠E = ∠A，然后利用簡便方法求解∠BFC，∠G與頂角∠A的關系.

∵ CF、CE分別平分∠ACB，∠ACD，

∴ ∠ACF = ∠ACB，

∠ECA = ∠ACD，

又∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，

∴ ∠FCA + ∠ACE = × 180° = 90°，

即∠FCE = 90°.

同理∠EBG = 90°.

∵ ∠BFC = ∠FCE + ∠E，

∴ ∠BFC = 90° + ∠A.

∵ ∠G = 90° - ∠E，

∴ ∠G = 90° - ∠A.

利用三角形內角和，外角定理求解另外兩個夾角與頂角的關系，使原本復雜的問題變得簡單化，學生理解起來也很容易，應用起來也很熟練，這就說明，在今后的教學中要適當地發現新的方法、簡便方法，教會學生用簡捷的思想分析問題、解決問題，為孩子將來的成長奠定基礎. 我自己也會努力在這方面發展，培養優秀、出色的孩子.