例談求解平面向量數(shù)量積的方法和策略

馮平

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算一直是高考熱點(diǎn)內(nèi)容，它在處理線(xiàn)段長(zhǎng)度、垂直等問(wèn)題的方式方法上尤為有突出的表現(xiàn)，而正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是求解的關(guān)鍵，同時(shí)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)而不是向量，因此要注意數(shù)量積運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算律的差異，本文將借助平面向量數(shù)量積的定義和幾何意義、借助零向量、借助平行向量與垂直向量、借助轉(zhuǎn)化基底法和借助坐標(biāo)系利用坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)例談求解向量數(shù)量積運(yùn)算的方法和策略.

一、借助定義和幾何意義直接求解數(shù)量積

例1 若向量a，b滿(mǎn)足|a| = |b| = 1，a，b的夾角為60°，則a·a + a·b = ______.

解析 根據(jù)數(shù)量積的定義：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：a·b，即a·b = |a||b|cos θ（規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量）. 得a·a + a·b = 1 × 1 + 1 × 1 × cos60° = .

例2 如圖， 已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是 （ ）.

A. · B. ·

C. · D. ·

解析 選項(xiàng)中均有向量 ，根據(jù)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模|a|與b在a上的投影的乘積知，要找 · （i = 3，4，5，6）的最大值，只需求 （i = 3，4，5，6）在 方向上的投影最大即可，畫(huà)圖可知只有 在 方向上的投影最大，故最大選A.

點(diǎn)評(píng) 若借助定義求解平面向量數(shù)量積時(shí)要注意弄清楚兩向量的夾角和模長(zhǎng)；若借助幾何意義求解平面向量數(shù)量積時(shí)要注意數(shù)量積的幾何意義就是一向量的模與它在另一向量方向上的投影的乘積.

二、借助零向量求解數(shù)量積

例3 已知△ABC中， = a， = b， = c，若a·b = b·c = c·a，求證：△ABC為正三角形.

證明：∵ b·c = c·a，∴ c（b - a） = 0，又∵ a + b + c = 0，c = -（a + b），

故-（a + b）（b - a） = 0， 知a = b， 同理可知b = c，故a = b = c ， 得證.

例4 已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足| | = 3，| | = 4，| | = 5，則 · + · + · 的值等于 .

解析 注意到∵ + + = 0，兩邊平方得

| |2 + | |2 +| |2 + 2 · + 2 · + 2 · = 0

所以 · + · + · = -25.

點(diǎn)評(píng) 借助零向量即借助“圍成一個(gè)封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理使用向量的移項(xiàng)以及平方等變形，求解數(shù)量積.

三、借助平行向量與垂直向量求解數(shù)量積

例5 如圖，在Rt△ABC中，已知BC = a，若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中心，問(wèn) 與 的夾角θ取何值時(shí) · 的值最大？并求出這個(gè)最大值

解析 ∵ ⊥ ∴ · = 0

又∵ = - ， = - ， = - ，

∴ · = （ - ）·（ - ） = · - · - · + ·

= -a2 - · + · = - a2 + （ - ） = - a2 + · .

∴當(dāng)cos θ = 1，即 θ = 0（ 與 方向相同）時(shí)， · 最大，最大值為0.

點(diǎn)評(píng) 借助平行向量與垂直向量即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直條件關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助a⊥b，則a·b = 0等解決問(wèn)題.

四、借助轉(zhuǎn)化基底法求解數(shù)量積

例6 如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB = 8，AD = 5， = 3 ， · = 2，則 · 的值是________.

解析 由 = 3 ，得 = = ， = + = + ， = - = + 14 - = - . 因?yàn)?· = 2，所以 + · - = 2，即 2 - · - 2 = 2. 又因?yàn)?2 = 25， 2 = 64，所以 · = 22

點(diǎn)評(píng) 借助轉(zhuǎn)化基底法即將待求向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為題目中能求解的數(shù)量積. 一般當(dāng)向量的模或夾角不明確，且建立直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)不易求出. 而題目已知兩條線(xiàn)段長(zhǎng)或一條線(xiàn)段長(zhǎng)和以此線(xiàn)段為一邊的角度時(shí)，常常以這兩個(gè)向量作為平面上所有向量的一組基底（據(jù)平面向量基本定理易得），將要求的向量用這組基底表示出來(lái).

結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)模和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算，向量的幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”以及它的一套優(yōu)良的運(yùn)算系統(tǒng)使它成為“重要工具”和“橋梁”，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇（注：有時(shí)同一個(gè)題目可以用兩種形式來(lái)求解）. 在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生理解并掌握平面向量數(shù)量積，教會(huì)學(xué)生在不同的條件下怎樣正確地使用這些知識(shí). 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期培養(yǎng)，學(xué)生就能夠全面地看待問(wèn)題，由此提高解決平面向量題的效率.