“設(shè)而不求” 巧解解析幾何題

陸霞

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其核心內(nèi)容是直線和圓以及圓錐曲線，其本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì). 在考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能的考試目標(biāo)指導(dǎo)下，每年的高考對(duì)解析幾何的考查都占有較大的比例，試題往往會(huì)出現(xiàn)計(jì)算量較大的情況，若解題方法不當(dāng)，就會(huì)使解題過(guò)程繁雜而冗長(zhǎng)， 從而直接影響到解題速度和結(jié)果的準(zhǔn)確性，如何避免不必要的運(yùn)算， 化繁為簡(jiǎn)，從而縮短解題過(guò)程呢？可以采用設(shè)而不求這種方法，“設(shè)而不求”法指利用題設(shè)條件，巧妙換元，通過(guò)整體替換再消元或換元，達(dá)到運(yùn)算中以簡(jiǎn)馭繁的目的的一種解題方法. 現(xiàn)就利用“設(shè)而不求”巧解解析幾何題的幾種途徑例說(shuō)如下：

一、設(shè)而不求，巧用“曲線和方程”的關(guān)系

例1 求經(jīng)過(guò)兩圓（x + 2）2 + （y + 1）2 = 4和x2 + y2 = 1的交點(diǎn)的直線的方程.

解 用（x + 2）2 + （y + 1）2 = 4方程減去x2 + y2 = 1方程

即為所求的直線方程：2x + y + 1 = 0

注 本題若采用常用常規(guī)方法解方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而運(yùn)算量較大，若采用“設(shè)而不求”，則達(dá)到減少運(yùn)算量之效果.

二、設(shè)而不求，巧用“圓錐曲線的定義”

例2 已知A、B 是橢圓 + = 1（a > 0）上的兩點(diǎn)， F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若|AF2| + |BF2| = a，AB 的中點(diǎn)到橢圓左準(zhǔn)線的距離為 ，求橢圓的方程.

解 因?yàn)閨AF2| + |BF2| = a則2a - |AF1| + 2a - |BF1| = a，

所以|AF1| + |BF1| = a.

設(shè)AB的中點(diǎn)為M，A、B、M在橢圓左準(zhǔn)線上射影分別為 A1、B1、M1

由橢圓的第二定義知：|AF1| = e|AA1|，|BF1| = e|BB1|

所以e（|AA1| + |BB1|） = a 得e =

因而AA1 + BB1 = 3a，2MM1 = 3a，MM1 = a =

所以a = 1，所求橢圓方程為x2 + = 1

評(píng)注 本題涉及曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離，設(shè)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)但不求出坐標(biāo)，借助圓錐曲線的第一、第二定義及焦半徑公式化繁為簡(jiǎn)，縮短解題過(guò)程.

三、設(shè)而不求，巧用“點(diǎn)差法”

“點(diǎn)差法”是在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交被截的線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，并把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差. 求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程.

例3 求過(guò)定點(diǎn)（0， 1）的直線被雙曲線 - = 1截得的弦中點(diǎn)軌跡方程.

解 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2）弦中點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則4x12 - y12 = 16，4x22 - y22 = 16.兩式相減，得4（x1 + x2）（x1 - x2） = （y1 + y2）（y1 - y2），化簡(jiǎn)得4x2 - y2 - 4x = 0（雙曲線圖像中的一部分）

評(píng)注 本題涉及的是平行弦的中點(diǎn)軌跡問(wèn)題，體現(xiàn)的是設(shè)而不求，整體求解的意識(shí)，利用點(diǎn)差法從全局的高度，整體把握運(yùn)算，是提高運(yùn)算效率的關(guān)鍵，也是運(yùn)算能力強(qiáng)的表現(xiàn)，常能使解答過(guò)程簡(jiǎn)捷、明快，達(dá)到事半功倍之效果.

四、設(shè)而不求，巧用“韋達(dá)定理”

例4 已知直角△OAB的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，A、B在拋物線y2 = 2px（p > 0）上

求證：過(guò)定點(diǎn)M（p，0）任作拋物線的一弦PQ，求證： + 為定值.

解 設(shè)直線PQ ∶ x = my + p，由x = my + py2 = 2px消去x有：y2 - 2pmy - 2p2 = 0，所以y1 + y2 = 2pmy1y2 = -2p2，|MP| = |y1|，|MQ| = |y2|， + = + = · = · = · = .

評(píng)注 本題巧設(shè)PQ直線方程，利用韋達(dá)定理求PQ與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)，避免求交點(diǎn)坐標(biāo)，使已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，達(dá)到簡(jiǎn)化解題過(guò)程之效果.

解析幾何的特點(diǎn)是：“思路好找數(shù)難算”，學(xué)生往往是望而生畏，不戰(zhàn)而退. 針對(duì)這種情況，學(xué)生要有一定的應(yīng)對(duì)能力和方法. “設(shè)而不求”法在解析幾何的一些問(wèn)題中有諸多應(yīng)用，它優(yōu)化了學(xué)生的解題思路，讓解析難題的解決更有信心.“設(shè)而不求”法是數(shù)學(xué)解題中一種很有用的手段，采用設(shè)而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的無(wú)益的循環(huán)運(yùn)算，從而達(dá)到準(zhǔn)確、快速、簡(jiǎn)捷的解題效果. 總之，學(xué)生若掌握“設(shè)而不求”的這種解題策略，高考將省時(shí)省力.