心路歷程之外心

洪利芳

【摘要】 三角形的外心能從它的特征——到三角形三個頂點的距離相等出發幫助我們認識三角形，本文從三角形的外心的存在性、性質、作圖、應用四個方面介紹了三角形的外心.

【關鍵詞】 外心；外接圓；垂直平分線

三角形的五心“外心”“內心”“重心”“垂心”“旁心”給出了三角形的一些重要性質，對于我們認識三角形提供了幫助.下面筆者就對外心加以整理：

邊中垂線交一點，用它可作外接圓，此點定義為“外心”，其到頂點長相等，要問最小覆蓋圓，先看形狀定圓心一般的，把三角形三條邊的垂直平分線的交點叫作外心.

如圖1，△ABC中，AB、AC、BC的中垂線的交點O即為△ABC的外心.

一、某大型主題樂園由動物園A、植物園B、水上樂園C組成，現要建一個圓形軌道將其連接起來，請問圓形軌道如何設置？

已知△ABC，請畫出過點A、B、C的圓.

如圖2這樣，經過三角形各個頂點的圓叫作三角形的外接圓. 為了要作出三角形的外接圓，需要確定圓心和半徑.

二、三角形外接圓的圓心與三角形三條邊的垂直平分線有怎樣的關系

如圖2，記△ABC外接圓的圓心為O.

∵ OA = OB = OC，

∴點O在AB、BC、AC的垂直平分線上.

即三角形外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點——外心.

三、性質

如圖3，比較這三個三角形外心的位置，我們發現：

銳角三角形的外心在三角形的內部；

直角三角形的外心在三角形的邊上；

鈍角三角形的外心在三角形的外部.

根據三角形的外心的位置可以判定三角形的形狀.

四、應用

某市要建一個大型圓形主題樂園，要求圓形樂園剛好把動物園A、植物園B和水上樂園C包括在內，又要使這個樂園的面積最小，請你給出這個主題樂園的施工圖.

（1）若△ABC是銳角或直角三角形，則圓形公園的圓心設在外心處，半徑為外接圓半徑.

（2）若△ABC是鈍角三角形，則圓形公園的圓心設在最長邊的中點處，半徑為最長邊的一半.