高等數學中證明不等式的若干種方法

王云霞

【摘要】 不等式作為一個重要的分析工具和分析手段，在初等數學中已做過很多的研究，比如：換元法（增量換元法、三角換元法、比值換元法等），構造法（構造對偶式模型、構造函數模型、構造二次函數模型等），放縮法（去掉式子中的某些項放縮、應用常用不等式放縮、適當放大或縮小某些項等）等等. 本文主要介紹高等數學中不等式的證明的六種方法：利用拉格朗日中值定理證明不等式、利用泰勒定理證明不等式、利用單調性證明不等式、利用極值和最大（小）值證明、利用函數的凹凸性進行不等式的證明以及涉及累次積分的不等式的證明.利用函數的各種特性來證明不等式，使不等式的證明更具普遍性和一般性.

【關鍵詞】 拉格朗日中值定理；泰勒定理；單調性； 極值；凹凸性

在高等數學及其應用中，不等式的證明是一個比較復雜的問題，形式太多也就相應的方法很多，但如果找到一種行之有效的方法將會達到一個事半功倍的效果，本文將介紹六種常見的方法：

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

利用拉格朗日中值定理可證明聯合不等式，步驟為：

（1）從中間表達式確定出f（x）及區間[a，b]；

（2）驗證f（x）在[a，b]滿足拉格朗日中值定理條件，得

二、利用泰勒定理證明不等式

如果已知函數的高階導數存在，則往往可以考慮通過考慮泰勒公式將函數展開來進行證明.

三、利用單調性證明不等式

該方法適用于某區間成立的不等式，數字不等式通常是通過做輔助函數來完成，步驟為：

（1）移項（有時需要作簡單的恒等變形），使不等式的一端為“0”，另一端即為所求作的輔助函數f（x）；

（2）求f′（x），并驗證f（x）在指定區間的增減性（有時需求f ″（x），f ′″（x）才能判別f（x）在指定區間的增減性）；

（3）求出區間端點的函數值（或極限值），做出比較即得所證.

例3 設x > 0，常數a > e，證明（a + x）a < aa+x

不等式的證明方法除了上述之外還有很多，大家在學習的過程中可以進一步補充.

【參考文獻】

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