數(shù)列通項(xiàng)公式求法探究

李佳怡

摘 要：數(shù)列問題一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重難點(diǎn)，而數(shù)列的概念與思想方法是函數(shù)的基礎(chǔ)。同時(shí)，數(shù)列在很多其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。本文通過作者自身的經(jīng)驗(yàn)與查詢資料對(duì)數(shù)列問題中通項(xiàng)公式的求法進(jìn)行了初步的歸納總結(jié)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供更加簡(jiǎn)單合理的參考與幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；數(shù)列；通項(xiàng)公式；求解

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)列題目常常有著比較新穎的變化，有時(shí)候海域函數(shù)相結(jié)合成為一道令人“頭疼”的復(fù)雜題目。但是，經(jīng)過仔細(xì)的思考和細(xì)心的總結(jié)，數(shù)列問題的解法其實(shí)是有跡可循的。對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，可以初步總結(jié)為下述的六個(gè)方法，并且應(yīng)用這六種方法基本可以解決現(xiàn)階段遇到的數(shù)列通項(xiàng)公式的求解問題。

一、歸納猜想法

歸納猜想的方法貌似簡(jiǎn)單，但卻是一個(gè)非常重要的方法，是我們遇到一個(gè)數(shù)列問題時(shí)首先要考慮的方法。這種方法依賴于題目數(shù)列方便計(jì)算以及我們個(gè)人敏銳觀察力和大膽的想象力。

如數(shù)列1，3，5，7，9···可以非常快速的看出其通項(xiàng)公式為an=2n-1。另一個(gè)數(shù)列如：1，3，7，15···可以通過觀察其規(guī)律進(jìn)行猜想知an=2n-1。

二、整體換元法

整體換元的方法主要是用一個(gè)設(shè)定的字母帶換掉原式中一個(gè)整體，即形式相同的一部分。

如求（n+1）an+1=nan+3的通項(xiàng)公式。

本題初看之下似乎毫無頭緒，但是如果做一定的換元：設(shè)bn=nan ，則上式可變?yōu)閎n+1=bn+3，上述問題就變得十分簡(jiǎn)單，此時(shí)只需求出bn即可得到數(shù)列通項(xiàng)公式an。

三、三角代換法

類似于整體換元法，三角代換的方法是通過發(fā)現(xiàn)原式中某些形式與三角公式相吻合，進(jìn)而將所求轉(zhuǎn)化為三角公式的求解。通常這類問題本身就是由三角公式演化而來的。

初看此題可能無從下手，但是如果我們注意到三角函數(shù)的一個(gè)常見的性質(zhì)，即cosθ=1-2sin2，所以有sin=。這時(shí)我們就能夠發(fā)現(xiàn)a1=sinθ，a2=sin，a3=sin，…，其中θ=，則很容易就可得到原式中an=sin。

四、兩式相減法

兩式相減的方法是數(shù)列通項(xiàng)公式求解過程中非常好用但往往不容易想到的方法。兩式相減，就是將題目給出的關(guān)系式分別寫為關(guān)于n的式①和關(guān)于n+1的式②，然后將這兩個(gè)式子相減，得到的新式子可以很直觀的反映出一定的數(shù)量關(guān)系，從而使得原題的求解簡(jiǎn)化。

例：求數(shù)列a1+a2+…+an=n2的通項(xiàng)公式an。

①-②得an+1=2n+1，所以an=2n-1即得。

當(dāng)然這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子，但我們?nèi)阅芸吹絻墒较鄿p方法的應(yīng)用，可以將相同項(xiàng)特別是常數(shù)項(xiàng)減掉，然后進(jìn)行因式分解，將原式簡(jiǎn)化整理。特別的，若原式存在平方項(xiàng)，此時(shí)還可以活用平方差公式。

五、遞推關(guān)系法

可以通過一個(gè)上述的簡(jiǎn)單例子看到，若an+1=2an+1，對(duì)其做一定的變形可得an+1+1=2（an+1），然后設(shè)bn=an+1，原式直接變?yōu)閎n+1=2bn。只要通過一定形式的變化，可以很容易的將原式中的關(guān)系變?yōu)楹?jiǎn)單的遞推關(guān)系，使得求解變得極為簡(jiǎn)單直接。

六、特征方程法

特征方程法是數(shù)列求解中一個(gè)比較特殊的方法，這類問題針對(duì)的是某些擁有現(xiàn)成結(jié)論的特殊問題。通過特征方程和特征根，對(duì)有些特定的問題我們可以直接給出答案。

特征方程可以分為兩類，

（1）形如an+2=aan+1+ban形式的遞推數(shù)列；

（2）形如an+1=形式的遞推數(shù)列。

（1）對(duì)于an+2=aan+1+ban，它的特征方程為x2=ax+b；

特征方程的方法可總結(jié)為三步：

①根據(jù)特征方程求出特征根；

②若所求為不等根，則分別用an+1相減；若是等根，則用an+1相減再取倒數(shù)；

③化簡(jiǎn)整理，此時(shí)可形成等比或等差數(shù)列在進(jìn)行計(jì)算。

七、總結(jié)

通過上述的歸納，我們可以看到數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法。通過總結(jié)歸納，可以更好的掌握解決問題的方法，獲得對(duì)知識(shí)更好的理解。這不僅是我們解題中的良好習(xí)慣，也應(yīng)當(dāng)成為未來學(xué)習(xí)和研究的重要手段。