材料力學剪力圖與彎矩圖的簡易繪制方法

師艷景

摘 要：本文以剪力、彎矩和分布荷載集度之間的微分關系為基礎，求出支座反力后可快速繪制剪力圖，根據剪力圖的正負和剪力圖面積來繪制彎矩圖。對于基礎普遍較差的三本院校學生來講，較易掌握。

關鍵詞：微分關系；剪力圖；彎矩圖；剪力圖正負與面積

中圖分類號：TB121文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）09-0137-02

材料力學中彎曲變形是四種基本變形之一，剪力和彎矩為彎曲變形的內力。剪力圖和彎矩圖的繪制，可以很方便的看到梁各個橫截面上的剪力彎矩數值大小和正負，從而確定出梁的危險截面，為后面的正應力強度校核和切應力強度校核做準備。

一般教材中介紹的剪力圖彎矩圖的繪制有兩種做法。第一種是先列出剪力方程和彎矩方程，根據方程作圖。很顯然，如果梁上受到荷載種類較多時，剪力方程和彎矩方程需分很多段來列，非常復雜，因此這種做法用的較少。第二種方法是基于剪力、彎矩和荷載之間的微分關系來繪制。這種方法通常是在梁上取若干控制截面，直接由外力計算出控制截面上的剪力值和彎矩值，再根據微分關系確定兩控制截面之間的剪力圖和彎矩圖的連線。這種方法較第一種簡便，對于一些成績好的同學也可以掌握。

但是，如果梁上外荷載較多，所選取控制截面也會較多，計算較為復雜。此外，對于有一些基礎較差的同學，由外力計算剪力彎矩值掌握較吃力。故本文在剪力、彎矩和荷載集度微分關系的基礎上提出一種剪力圖、彎矩圖的簡易繪制方法，供廣大讀者參考。

一、繪制依據

1.剪力與荷載集度之間的關系dFs（x）dx=q（x）。由該式可得，dFs（x）=q（x）dx。即某段梁上剪力的增量，等于荷載圖的面積。

2.彎矩與剪力之間的關系dM（x）dx=Fs（x）。由該式可得，dM（x）=Fs（x）dx。即某段梁上彎矩的增量，等于剪力圖的面積。

二、繪制方法

（一）求解支座反力

由靜力學平衡方程求出支座反力，不再贅述。

（二）剪力圖繪制

從左到右繪制剪力圖：

①剪力初始值為零。

②若梁上有向上（下）集中力（含支座反力）作用，則剪力圖向上（下）突變，突變值等于集中力的大小。

③若梁上有向上（下）均布荷載作用，則該段梁上剪力圖為斜向上（下）的直線，剪力的增量為該段梁上分布荷載的面積。

④若梁上有集中力偶（含支座反力）作用，剪力圖沒有變化。

⑤若梁上無荷載，則剪力圖為水平直線。

⑥檢查梁末端截面的剪力值是否歸于零。如不是零，則說明中間過程有誤，需檢查修改。

（三）彎矩圖繪制

①綜合荷載圖和剪力圖，從左到右繪制彎矩圖。

②彎矩初始值為零。

③從左到右，若梁上有集中力偶（含支座反力）作用，則彎矩圖有突變。突變值等于集中力偶大小。若集中力偶順時針，則彎矩圖往正向即向下突變；反之，若集中力偶逆時針，則彎矩圖往負向即向上突變。

④若梁上有向上（下）均布荷載作用，則彎矩圖為向上（下）凸的拋物線。該段梁上彎矩的增量為對應梁段剪力圖的面積。若剪力圖為正，則彎矩增量為正；若剪力圖為負，則彎矩增量為負。

⑤若梁上無荷載，則彎矩圖為斜直線。該段梁上彎矩的增量為對應梁段剪力圖的面積。若剪力圖為正，則彎矩增量為正，彎矩圖為斜向下直線；若剪力圖為負，則彎矩增量為負，彎矩圖為斜向上的直線。

⑥若梁上有集中荷載，則彎矩圖在集中荷載作用處有尖角。

⑦檢查梁末端的彎矩值是否歸于零。如不是零，則說明中間過程有誤，需檢查修改。

三、舉例

圖中所示具有中間鉸C的靜定梁，試繪制剪力圖和彎矩圖。

（一）由靜力學平衡方程求解支座反力得

FAx=0FAy=81kNFBy=29kNMA=96.5kN·m

（二）繪制剪力圖

從左到右繪制剪力圖，剪力初始值為零；

A截面有向上的集中力FAy（支座反力），故剪力圖向上突變，突變值等于FAy等于81kN，突變后剪力變為81kN；

從A右截面至E左截面梁上無荷載作用，故剪力圖為水平直線；E截面有向下的集中力F=50kN，故剪力圖向下突變，突變值等于F等于50kN，突變后剪力值變為31kN；

E右截面至D左截面梁上無荷載作用，故剪力圖為水平直線；

D截面至K截面梁上為向下的均布荷載，故剪力圖為向下傾斜的直線，該段梁上剪力值的增量為荷載圖面積，即-20×3=-60kN，故K截面的剪力值為31+（-60）=-29kN；

K右截面至B左截面梁上無荷載，故剪力圖為水平直線；

B截面有逆時針的集中力偶，但不影響剪力圖，故剪力圖無變化；

另外B截面處還有向上的集中力FBy（支座反力），故剪力圖向上突變，突變值等于FBy等于29kN；

最終剪力圖回到零點。

（三）繪制彎矩圖

從左向右繪制彎矩圖，彎矩初始值為零。

A截面有逆時針集中力偶MA（支座反力），由前文所述規律，彎矩圖往負向即向上突變，且突變值等于集中力偶等于96.5kN·m。突變后，彎矩值變為了-96.5 kN·m。

A右截面至E左截面，梁上無荷載作用，彎矩圖為斜直線。由于該段梁上剪力圖為正，故彎矩值逐漸增加，即彎矩圖為斜向下直線。彎矩的增量為剪力圖的面積，即81×1=81 kN·m，至E左截面，彎矩值變為-96.5+81=-15.5 kN·m。

E截面有集中力作用，彎矩圖會有尖角（彎矩圖繪制完成后可看到）。

E右截面至D左截面，梁上無荷載作用，彎矩圖為斜直線。且該段梁上剪力圖為正，故彎矩值逐漸增加，即彎矩圖為斜向下直線。彎矩的增量為剪力圖的面積，即31×1.5=46.5kN·m，至D左截面，彎矩值變為-15.5+46.5=31 kN·m。

D截面至K截面，梁上有向下的均布荷載作用，彎矩圖為向下凸的拋物線。且由剪力圖可看到，在距離K點1.45m的H點處剪力為零，則該點處彎矩有極值。D右至H段梁彎矩增量為剪力圖面積，即31×1.55÷2=24 kN·m，故H截面彎矩值為31+24=55 kN·m。HK段梁彎矩值增量為-29×1.45÷2=-21 kN·m，故K截面彎矩值為55+（-21）=34 kN·m。

K右截面至B左截面，梁上無荷載作用，剪力圖為負，故彎矩圖為斜向上直線。彎矩增量為-29×1=29 kN·m，則B左截面彎矩值為34+（-29）=5 kN·m。

B截面處有逆時針集中力偶Me，則彎矩圖往負向即向上突變。突變值等于集中力偶大小等于5 kN·m，突變后，彎矩值歸于零，可認為彎矩圖繪制正確。

對于本題來講，有中間鉸C，畫完彎矩圖后需檢查在此處彎矩值為零。

四、總結

本文提出的方法以彎矩、剪力與荷載集度微分關系為基礎，求出梁的支座反力以后無需進行繁瑣的剪力方程、彎矩方程計算，也無需依外力計算各控制截面剪力彎矩數值，而通過計算簡單的幾何圖形面積輔以基本規律就可繪制剪力彎矩圖。作者認為，該種方法簡易方便，對基礎較差的三本學生較易掌握，對基礎好的學生則可以幫助其快速準確的繪制剪力彎矩圖。

（作者單位：天津大學仁愛學院）

參考文獻：

[1]孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學（Ⅰ）[M].北京：高等教育出版社，2009.