追求思維性 體現文化性

張小勇

摘要：本課例從第24界國際數學家大會的會標“風車”出發，引導學生層層遞進，逐漸感知基本不等式和簡單應用。反思在核心概念和命題的教學上，如何使學生能很好地生成理解、接近問題的本質，提高課堂教學效果。

關鍵詞：基本不等式；教學效果；教學反思

中圖分類號：G632.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）34-0271-02

新課程理念倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，教學過程中，教師應力求發揮學生學習的主動性，讓學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程，基于此，最近筆者在高二上了一節公開課，課題是人教版A版必修5第三章“3.4基本不等式 ≤ ”，設計了“情境創設—探究升華—數學建構—知識應用—鞏固拓展”的教學主線，問題環環相扣，使學生能很好地生成理解、接近問題的本質。結合課堂實錄，分享一下我的一些想法和反思。

一、教學實錄

1.情境創設。師：（多媒體展示圖略）如圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，同學們，有誰知道中國古代數學家趙爽的一些歷史貢獻嗎？眾生：不太清楚。（多媒體展示）趙爽是東漢末至三國時代吳國人。我國歷史上著名的數學家與天文學家。主要貢獻是約在222年深入研究了《周髀》，趙爽為該書寫了序言，并作了詳細注釋。其中一段530余字的“勾股圓方圖”，它詳細解釋了《周髀算經》中勾股定理，給出了新的證明。

問題1：我想同學們對風車并不陌生，我們從這個“風車”中，找出一些相等和不等關系。

設計意圖：數學教學只有從問題開始才有其生命力，創設一個問題情境，既提出本節課研究的問題，又使學生體會數學的應用價值，感受學習數學新知識的必要性。

生1：四個直角三角形與小正方形的面積的和等于大正方形的面積，但不等關系感覺無從下手。

師：好的，四個直角三角形的面積和與大正方形的面積進行比較呢？

生1：顯然四個直角三角形的面積和小于大正方形的面積。

師：很好，接下來我們將圖中的“風車”抽象成數學模型（多媒體展示圖），我們能把生1找出的不等關系用一個式子表示出來嗎？（學生積極思考，相互討論）

師：由圖中已知的數據，大正方形的面積和4個直角三角形的面積和分別是多少？

生2：大正方形的面積為a +b ，4個直角三角形的面積和為2ab.

師：很好，生1所說的不等式就可以表示為a +b >2ab，那么這個不等式能取等號嗎？

生3：可以，當正方形EFGH縮為一個點。

師：很好（多媒體展示）。

師：在“風車”中，我們得出不等式：a +b ≥2ab，當a=b時，取等號，一般我們稱之為重要不等式。

重要不等式：對于任意實數a，b，有a +b ≥2ab，當且僅當a=b時，等號成立。（板書）

2.探究升華。

問題2：若把上式中的a和b分別用 （a>0）和 （b>0）替代，會得到什么式子？

設計意圖：以重要不等式為引例，引出“算術平均數”和“幾何平均數”兩個概念，為新課講解埋下伏筆。

眾生：a+b≥2 .

師：我們也可以表述為 ≤ ，這就是我們今天要講的內容，基本不等式。（教師板書課題3.4基本不等式 ≤ ）。（學生填寫）課本第110頁基本不等式的分析法證明。（略）

問題3：（課本第110頁）在圖4中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.你能利用這個圖形得出基本不等式 ≤ 的幾何解釋嗎？

設計意圖：通過對基本不等式的證明，引導學生經歷數學概念的主動建構過程，培養學生嚴謹的數學思維能力和追求完美的價值觀。

師：圖4中，能用a和b表示CD的長度和半徑嗎？

生4：（思考）由條件可得到△ACD∽△DCB，所以 = ，這樣可得CD= ，半徑為 .

師：能通過該圖對基本不等式作幾何證明嗎？

生4：顯然CD小于或等于圓的半徑，即 ≤ .

師：非常棒！

3.數學建構。基本不等式：若a，b是正數，那么 ≤ （當且僅當a=b時，取等號）（板書）

師：我們常把 叫做兩正數a，b的算術平均數，把 稱為兩正數a，b的幾何平均數，在利用基本不等式求最值時，一般是若積為定值，則和有最小值；若和為定值，則積有最大值。因為最值必須左右兩邊取等號，所以還要考慮是否能取到等號的條件，我們可把基本不等式運用的條件歸納為：“一正、二定、三相等”。（板書）

4.知識應用。

例1：若x>0，當x取什么值時，x+ 的值最小？最小值是多少？

設計意圖：答題的格式和解題規范表述，將解題教學落到實處。

變式1：若x<0，當x取什么值時，x+ 的值最大？最大值是多少？

變式2：若x>1，當x取什么值時，x+ 的值最小？最小值是多少？

變式3：若x≥2，當x取什么值時，x+ 的值最小？最小值是多少？

設計意圖：通過對例1的三種變式，一方面對新知的學習起到檢測作用，另一方面加深學生對基本不等式的理解。

例2：已知x>3，求函數y= +x的最小值。

設計意圖：通過對例2的講解，使學生知道除了利用函數的性質求最值外，還可以利用基本不等式求解，加深學生對基本不等式的理解。

例3：設x，y滿足x+y=4，且x，y都是正數，則xy的最大值是多少？

設計意圖：加深學生對基本不等式的理解。

5.鞏固拓展。（1）若0

6.歸納小結。①基本不等式中， 是兩正數a，b的算術平均數， 兩正數a，b的幾何平均數；②基本不等式的適用條件“一正、二定、三相等”；③基本不等式既是求函數最值的基本工具，又是證明一些不等式的重要工具。

7.課后作業。課本習題3.4A組第1題；第2題；第3題。

二、教學反思

1.對教學立意的反思。提高課堂教學的“立意”，提高課堂教學的思想性，過程與結果并重，當前形勢下就要加強過程性教學。因此，在新課程理念下，我們在注重定理、公式應用的同時，還要重視它的形成過程，要讓學生有思維和行動的參與，同時還要關注數學的文化價值，只有吸引到學生的注意力，我們的課堂才有生命力。

2.對知識生成的反思。按照現代認知心理學的理解，陳述性知識應該是貫穿數學課堂教學的主線。本節課的陳述性知識是基本不等式，包括基本不等式的符號表征、圖形表征及其簡單應用。為了對基本不等式的理解，我從學生熟悉的“風車”（問題1）出發，為基本不等式的引入埋下伏筆，接著通過對問題2至問題5的分析，引導學生步步深入，使復雜問題簡單化、簡單問題具體化、具體問題數學化及其命題的優化等一系列的思維活動，引導學生層層遞進，逐漸感知基本不等式；還從“形”的角度，加深理解基本不等式，在核心命題的教學上“不惜時，不惜力”，使學生逐步生成理解、逐漸接近問題的本質，提高了課堂教學效率。

3.對學生認知的反思。新課程標準中指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有經驗基礎之上。根據這一教學理念設計教學過程，使每位學生主動投入到適合自己最近發展區的學習中去。這樣才能激發學生的學習積極性。本節課設計了科學有效的“問題鏈”，培養學生的問題意識。好的問題鏈設計能讓學生主動探索，激勵學生主動認知。筆者在情境創設（問題1）、探究升華（問題2和3）、數學建構等每個環節精心設計的問題，都能讓學生積極思考、踴躍回答，進而完成知識的內化，讓學生在命題的產生、形成和發展過程中，進一步體悟其中蘊含的數學思想和學習方法。

4.不足之處。不足之處在于講解例2時，由于時間關系，直接利用基本不等式求函數的最小值，缺少了學生的參與，有點突兀，如果能利用函數的性質，滲透數形結合，方程的思想，那么思路會拓展的更寬。其次本節課容量較大，雖然是根據本班來設計的，但留給學生思考的時間還應該更寬松一點。

參考文獻：

[1]人民教育出版社數學室編著.普通高中課程標準實驗教科書·數學必修5.A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]尚強，胡炳生.數學的靈魂——數學精神[J].中學數學教學參考，2012，（6）.

[3]孟勝奇.凸顯數學思維，追求教育本真——“幾何概型”教學實錄與反思[J].中學數學教育，2013，（3）.