兩個矩陣和的Drazin逆

楊曉英，劉新，王亞強

(1.四川信息職業技術學院基礎教育部, 四川 廣元 628017；2.寶雞文理學院數學與信息科學學院, 陜西 寶雞 721013)

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兩個矩陣和的Drazin逆

楊曉英1，劉新1，王亞強2

(1.四川信息職業技術學院基礎教育部, 四川 廣元 628017；2.寶雞文理學院數學與信息科學學院, 陜西 寶雞 721013)

摘要：研究了兩個矩陣和的Drazin逆的表示。 根據一個分塊矩陣拆分為兩個三角矩陣的思想, 利用Drazin逆的相關性質, 給出了兩個矩陣和在一定條件下Drazin逆表示的新的證明方法。

關鍵詞：矩陣和；Drazin逆；三角矩陣

設Cm×n表示m×n階復矩陣的集合,設A∈Cn×n,X∈Cm×n若滿足下列方程[1]：Ak+1=Ak,XAX=X,AX=XA,則稱X為A的Drazin逆，記作X=AD。這里ind(A)=k,ind(A)表示A的指數,rank(A)表示矩陣A的秩，Aπ=I-AAD。矩陣的Drazin逆在奇異微分方程、迭代法和控制論中都有廣泛的應用[1]。眾所周知,矩陣的Drazin逆存在且唯一。近年來, 關于矩陣和的Drazin逆的表示，許多學者在不同條件下都做了很多討論[2-11]。其中文獻[2]給出在P2Q+QPQ=0,P3Q=0和PQ2+PQP=0,PQ3=0兩種條件下兩矩陣和Drazin逆的表示，本文給出和文獻[2]相同條件的兩矩陣和Drazin逆表示的新的證明方法, 并通過與文獻[2]舉相同的數值例子, 證實了Drazin逆表示結果的唯一性。

下面我們首先給出幾個重要的引理。

引理1[1]設A∈Cm×n,B∈Cm×n, 那么(AB)D=A((BA)2)DB。

引理2[2]設P，Q∈Cm×n,如果PQ=0,那么

其中

1主要結果

下面給出在P2Q+QPQ=0,P3Q=0和PQ2+PQP=0,PQ3=0兩種條件下兩矩陣和Drazin逆的表示的新的證明方法。

定理1設P,Q∈Cn×n,如果P2Q+QPQ=0,P3Q=0 , 則

(P+Q)D= (Q I)∑t-1i=0(PQ)π0-(PQ2+P2Q)(PQ)D-PQX2(PQ)π?è????÷÷PQ0PQ2+P2QPQ?è????÷÷iQ2DX10P2D?è????÷÷i+1

其中,

X2= ∑t-1i=0((PQ)D)i+2(PQ2+P2Q)(PQ)i(PQ)π+∑t-1i=0(PQ)π(PQ)i(PQ2+P2Q)((PQ)D)i+2-

(PQ)D(PQ2+P2Q)(PQ)D,

t=max{ind(P2),ind(Q2),ind(PQ)}。

其中

因為P2Q+QPQ=0,P3Q=0,得EF=0, 由引理2，

其中t=max{ind(E),ind(F)}。

應用引理3, 得

其中,

(PQ)D(PQ2+P2Q)(PQ)D，

t=max{ind(P2),ind(Q2),ind(PQ)}。

所以,

證畢。

定理2設P,Q∈Cn×n,如果PQ2+PQP=0,PQ3=0,則

(P+Q)D =(Q I)∑t-1i=0Qπ-Q2X1-QP2D-PD0Pπ?è????÷÷Q2Q+P0P2?è????÷÷i(PQ)D0X2(PQ)D?è????÷÷i+1IP?è????÷÷+

其中,x1,x2,t同定理1。

其中,

因為PQ2+PQP=0,PQ3=0,

得EF=0,由引理2，

2數值例子

且ind(P2)=1,ind(Q2)=1,ind(PQ)=2,

(P+Q)D=QD+QX1P+PD+QPQD+PQ2D+QPQDX1P+QPQX1PD+PQQDX1P+PQ2X1PD+PQP

3結論

本文通過不同的證明方法給出與文獻[2]在相同條件下P3Q=0和PQ2+PQP=0,PQ3=0兩矩陣和Drazin逆的表示。

參考文獻：

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[11] MEYER C D, ROSE N J. The index and the Drazin inverse of block triangular matrices[J]. SIAM J Appl Math, 1977, 33(1): 1-7.

Drazin inverse of the addition of two matrices

YANG Xiao-ying1, LIU xin1, WANG Ya-qiang2

(1. Department of Basic Education, Sichuan Information Technology College, Guangyuan 628017, China;2. School of Mathematics and Information Sciences, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, China)

Abstract∶We address Drazin inverse of the addition of two matrices. We present a new proof approach of Drazin inverse of the addition of two matrices in some given conditions with the separation of a block matrix into two triangular matrices and the relevant properties of Drazin inverse.

Key words∶matrix addition; Drazin inverse; triangular matrix

中圖分類號：O151.21

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2015)05-0088-04

作者簡介：楊曉英(1984- ), 女, 碩士, 講師, 研究方向為矩陣理論。Email: yangxiaoying134@163.com

基金項目：四川省教育廳自然科學研究基金(14ZB0442,15ZB0465)

收稿日期：2015-05-04

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.02.016