一道高考壓軸題的另解及引申

李迪淼

湖北2015年高考數學卷文理科都采用了這樣一道壓軸題：一種畫橢圓的工具如圖1所示.0是滑槽AB的中點，短桿ON可繞0轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3.當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞0轉動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C.以0為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.

（工）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設動直線ι與兩定直線ι₁：x-2y=0和ι₂：x+2y=0分別交于P，Q兩點.若直線ι總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

這是一道很有創意義緊扣學生所學知識方法的好題，其中第一題比較簡單，本文只就第二小題給出幾個有別于標準解答的解法和若干引申，意在拋磚引玉.

另解1 由第一小題知橢網方程為：x²+4y²=16，因而可設切點為E4cosθ，2sinθ），從而得切線PQ的方程：

顯然其中等號成立的充要條件是cos2θ=±1<=>PQ⊥x軸或PQ∥x軸，因此△OPQ的面積存在最小值，為8.

評注 該解法應用橢圓的角參數方程建立起以角為白變量的面積函數關系式，再利用余弦函數的有界性獲得了答案，過程簡明，思路清晰，但要用到切線公式和有關三角公式.

解析2 因為橢圓被直線l₁：x-2y=O和l₂：x+2y=0分割為四部分，根據對稱性則只需討論切點位于E和E'所處的兩個區域的情況即可（參見圖4）.

顯然其中等號成立的充要條件是y₀=O，即PQ⊥x軸，所以此時△OPQ的面積存在最小值8；

若切點位于圖4所示的E位置，同法可得當PQ∥x軸時△OPQ的面積存在最小值8.

評注 該解法應用橢圓的普通方程建立起以切點縱坐標為白變量的面積函數關系式，再利用實數平方的非負性獲得了答案，思路清晰，但要用到切線公式和分類討論方法.

當切點位于圖2所示的E'位置，同法可得△OPQ的面積存在最小值8.

評注 這里利用幾何直觀法迅速獲得了答案，但這要建立在堅實的理論基礎和非凡的洞察力之上.

引申1 在直線l₁：x-2y=0上任取一點P作橢圓x²+4y²=16的兩條切線PQ和PQ'分別交直線l₂：x+2y=0于Q，Q'，則△POQ與△POQ'的面積相等.

故M是切點弦EE'的中點.

另一方面，因為切點弦EE'：bx₀z+ax₀y=a²b與直線l₂：bx+ay=0的斜率相而獲知△POQ與△POQ'的面積相等.證畢.

引申3 動直線l與兩定直線l₁：bx-ay=0和l₂：bx+ay=0分別交于P，Q兩點.若直線l總與橢圓b²x²+a²y²=a²b²有且只有一個公共點，則△OPQ的面積的最小值是ab.

證明 由引申2及對稱性知只需考慮切點E位于∠POx的情況即可（參見圖7）.

當PQ⊥x軸時，顯然S_△OPQ=ab；