論職業中學立體幾何中的過程性教學

余春輝

摘 要： 立體幾何作為職業學校數學教育內容的一部分，它具有一定的形式符號化的抽象性和概括性等特征，又是促進學生認知發展的重要學習載體.

關鍵詞： 立體幾何 幾何定理 形成過程 探索過程 轉化思想

學好立體幾何對于提高職業學校學生的空間思維能力有著很大的作用.我結合自己平時的一些教學經驗，就立體幾何中的定理的“過程教學”作探討.

一、揭示幾何定理的形成過程

幾何定理的發現實際上經歷了曲折的猜想、試驗、歸納等一系列探索過程，這個過程是發現者的思維過程.教師在備課時，要有意識地通過各種合適的方式創設情境，從特例出發，使學生從不同的側面觀察、歸納和猜想特例的共性，為運用定理奠定基礎.

1.從實際生活的角度

例如，為了使學生發現“直線與平面平行的判定定理”這一內容，可以提出如下問題：當門關著時，門的四邊與門框在同一平面內，對邊平行，鄰邊相交；當門打開時，門的四邊所在的直線和門框所在的平面什么關系？

2.從實驗的角度

例如“對空間幾何體的結構學習”，我從操作實踐角度入手，布置學生用搭積木、捏橡皮泥或用紙板方式制作各種類型的幾何體模型.從制作過程中，認識相同類型的幾何體，讓學生體會“有六個面，十二條棱，八個頂點”的“幾何體”并不一定是長方體，還可能是棱柱或是平行六面體，等等.然后，再引導學生進行深層次的觀察、比較、交流，分別指出柱、錐、臺、球的結構特征，逐步歸納形成各種幾何體的結構概念框架.這樣不但激發了學生探求的興趣，而且使他們從被動學習知識變為主動吸收知識，增強了應用知識的靈活性.

3.從轉化的角度

立體幾何的學習，主要是充分運用“轉化”這種數學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯系，這是非常關鍵的.例如：①兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線.斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角.②異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化.而面面距離可以轉化為線面距離，再轉化為點面距離，點面距離又可轉化為點線距離.

二、揭示幾何定理的探索過程

許多數學原理（公式、定理等）的推導、證明方法，具有典型性，往往代表了典型的解題方法和思想，有益于學生對已學知識的深化鞏固。在實際教學中，應將證明思路的探索過程盡可能地暴露在學生面前，有的放矢地引導學生多角度探索思路、多渠道推導公式、定理，使學生在聯系新舊知識、掌握正確解題思路的同時，逐步掌握分析問題和解決問題的思想方法.

1.歸納探索

例如，圓柱的表面積公式推導，首先預習，讓學生在頭腦中建立表面積的概念，教學中，讓學生自己獲取圓柱體表面積是由一個曲面和兩個圓組成的，通過學生動手操作真正建立起了表面積的概念.接著尋找圓柱體表面積的計算方法是這一教學的難點，側面是一個曲面（此時教師再一次出示圓柱體模型教具，并指出側面部分，讓學生摸一摸，感知曲面），由例題進入具體情境，展示圓柱的側面展開圖，沿著高將側面展開后學生觀察是什么圖形？這就叫“化曲為直”.抓住聯系，曲面展開是一個長方形，此時讓學生邊演練邊觀察找出它們之間的聯系.通過操作學生切實探索出了兩者之間的聯系，攻克了難點.

2.實驗探索

數學實驗和物理實驗、化學實驗相比，不僅需要動手，更需要動腦，思考量大是數學實驗的基本特征.例如，直線與平面垂直的判定定理，傳統教材的證明非常漂亮，非常經典，在證明過程中也滲透了許多的數學思想.學生在學習過程中也能夠學到許多研究幾何的方法.但不可否認的是，在這個證明方法的探究中，學生能發揮的地方不多，教師的引導必不可少.而要使學生更深刻地理解應用定理，實驗探索是很好的教學方式.實驗過程如下：

步驟1：請同學們拿出課前先準備好的三角形的紙片，過A頂點翻折紙片（任意翻折），得到折痕AD，將翻折后紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

步驟2：通過以上實驗，容易發現，當且僅當折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.

步驟3：（1）由折痕AD，翻折之后垂直關系如何？由此你能得到什么結論？

（2）直線BD、CD的位置關系；

（3）折痕AD所在直線與桌面所在平面上的一條直線垂直，就可以判斷AD垂直平面嗎？

步驟4：得出結論：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.通過這樣的過程，學生更能夠理解和應用定理了.

3.演繹探索

這是幾何定理證明的最常用的方法，例如線面平行時我們可以通過線線平行或者面面平行進行證明.線面平行若通過線線平行證明必須找到平面中的一條線與已知直線平面，可以通過中位線，平行四邊形等方式來找，若通過面面平行來證明線面平行，必須找到一個平面中的兩條相交直線和平面平行，從而說明線面平行.顯然，通過線線平行證明線面平行比通過面面平行證明線面平行方便，所以線面平行轉化為線線平行是我們常用的方法.

三、轉化思想，重視立體幾何向平面幾何轉化的過程

轉化思想是解決數學問題的基本思想.它將新的問題轉化為已知問題；將抽象的問題轉化為直觀問題；將復雜問題轉化為一個或幾個簡單問題，最終將不易解決的問題轉化為易于解決的問題.

在數學定理的教學中，通過過程性的變式引導學生大膽猜想，有效探索，克服思維定勢，激勵思維的創造性，找到解決問題的最佳方案，不僅使學生學到新知識，更重要的是培養他們的探索精神，并逐漸掌握學習新知識的方法.